Kurs:Diskrete Mathematik/10/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	3	3	6	6	0	6	0	0	7	0	0	0	0	0	44

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, wie man ${}a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand (ohne den Daumennagel) lackieren, wobei die drei Farben ${}B,G,R$ zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

{}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,

erfüllen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Vereinigung“ auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ .

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge ${}H\subseteq G$ einer Gruppe ${}G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

{\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

{}[n]=\{0,1,2,\ldots ,n\}\,.

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ und jedem ${}0\leq k\leq n$ seien die Abbildungen

D_{k}\colon [n]\longrightarrow [n+1]

durch

{}D_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j<k,\\j+1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,

und die Abbildungen

S_{k}\colon [n+1]\longrightarrow [n]

durch

{}S_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j\leq k,\\j-1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

D_{3}\colon [4]\longrightarrow [5].

b) Erstelle eine Wertetabelle für

S_{3}\colon [6]\longrightarrow [5].

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

${}j$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\varphi (j)$	${}0$	${}2$	${}2$	${}4$	${}5$	${}5$

gegebene Abbildung

\varphi \colon [5]\longrightarrow [5]

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten ${}D_{k}$ und ${}S_{i}$ .

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$ durch Induktion über das Maximum von ${}a$ und ${}b$ .

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (6 (1+2+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ . Definiere auf ${}M$ eine Relation durch