Kurs:Diskrete Mathematik/11/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	3	0	4	0	3	4	0	0	1	0	4	0	0	0	0	0	0	25

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Heinz-Peter schaut am Morgen in den Spiegel und entdeckt fünf Pickel auf seiner Stirn. Diese müssen alle ausgedrückt werden, wobei zwei Pickel so nah beieinander liegen, dass sie unmittelbar hintereinander behandelt werden müssen. Wie viele Reihenfolgen gibt es, die Pickel auszudrücken?

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},

wobei bei ${}k>n$ der Binomialkoeffizient als ${}0$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
Bestimme ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}$ und ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}$ .
Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein Monoid, ${}a,b\in M$ und ${}m,n\in \mathbb {N}$ . Zeige die folgenden Potenzgesetze.

${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$
${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$
Wenn ${}M$ kommutativ ist, so ist
${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\preccurlyeq$ eine Ordnung auf ${}M$ . Zeige durch Induktion über ${}n\geq 2$ die Aussage: Wenn für Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in M$ die Beziehung