Kurs:Diskrete Mathematik/24/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	0	0	0	0	0	2	3	0	0	0	0	4	0	0	0	0	17

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Assoziativität einer Verknüpfung
$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$
Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ .
Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${}x\in M$ in einer Menge ${}M$ mit einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ .
Ein Automorphismus eines Graphen ${}G=(V,E)$ .
Das charakteristische Polynom zu einem Graphen ${}G$ .
Ein Hamiltonkreis in einem Graphen ${}(V,E)$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Aufgabe * (2 Punkte)

Professor Knopfloch und Dr. Eisenbeis stehen am Ufer des Rubbenbruchsees und können sich nicht einigen, ob sie mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn drumrum laufen sollen. Deshalb läuft Professor Knopfloch gegen den Uhrzeigersinn und Dr. Eisenbeis mit dem Uhrzeigersinn. Das Verhältnis ihrer Geschwindigkeiten ist ${}5:4$ , und daher läuft Knopfloch fünfmal um den See und Eisenbeis viermal um den See. Wie oft begegnen sie sich (Begegnung ganz am Anfang und am Ende mitzählen)?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es seien ${}a,m,n$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq 1$ .

Bestimme ${}\operatorname {ggT} (a^{m},a^{n})$ .
Bestimme ${}\operatorname {kgV} (a^{m},a^{n})$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „ ${}P$ durch ${}T$ “ für die beiden Polynome ${}P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und ${}T=3X^{2}+X+1$ durch.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ein gerichteter Graph genau dann symmetrisch ist, wenn für jede Teilmenge ${}T\subseteq M$ die Beziehung

{}T\subseteq M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(M\setminus \operatorname {Vorg} {\left(T\right)}\right)}\,

gilt.

Aufgabe (0 Punkte)