Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ring}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Nullring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es keinen echten \definitionsverweis {Zwischenring}{}{} zwischen $\R$ und ${\mathbb C}$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise das allgemeine Distributivitätsgesetz für einen \definitionsverweis {Ring}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $S_i \subseteq R,\, i \in I$, \definitionsverweis {Unterringe}{}{.} Zeige, dass dann auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} S_i$ ein Unterring von $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k } }
{ =} { \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{Man mache sich dies auch für $k<0$ und $k \geq n$ klar.} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} $\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der \definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Addition \zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $\spadesuit, \heartsuit$ und $\clubsuit$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( \spadesuit^2-3 \heartsuit \clubsuit \heartsuit-2\clubsuit \heartsuit^2+4 \spadesuit \heartsuit^2 \right) } { \left( 2 \spadesuit \heartsuit^3 \spadesuit-\clubsuit^2 \spadesuit \heartsuit \spadesuit \right) } { \left( 1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit^2\heartsuit \right) }} { . }
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ bildet.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe ist online abzugeben. Legen Sie dazu eine Benutzerseite auf Wikiversity an.

\inputaufgabe
{3 (2+1)}
{

Es sei $R$ ein Ring und es seien $a,b \in R$ Elemente, die
\definitionswortenp{vertauschbar}{} sind, d.h. es ist $ab=ba$. Zeigen Sie, dass die Binomische Formel auch unter dieser Voraussetzung gilt, indem Sie die Einzelschritte in der Gleichungskette im Beweis zu Satz 12.7 begründen. Sagen Sie jeweils, auf welchem Ringaxiom die Gleichung beruht und wo die Voraussetzung eingeht.

Gehen Sie dabei folgendermaßen vor. \aufzaehlungvier{Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie die Zeile

[[/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).

}{Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

 {{:Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

ein. }{Es erscheint der Beweis der Binomischen Formel. Wenn Sie auf eines der Gleichheitszeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für dieses Gleichheitszeichen ein. }{Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite(die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können) einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

[[Ihr Benutzername/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

hinschreiben.

}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und $M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge
\mathdisp {A= { \left\{ f:M \rightarrow R \mid f \text{ Abbildung} \right\} }} { }
eine Ringstruktur.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet einige topologische Begriffe. Man kann dabei einen topologischen Raum durch einen metrischen Raum oder eine Teilmenge des $\R^n$ ersetzen.


\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {C(X, \R) }
{ =} {{ \left\{ f:X \longrightarrow \R \mid f \text{ stetige Abbildung} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist. Man gebe auch ein Beispiel an, das zeigt, dass $R$ im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {nullteilerfrei}{}{} ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des \stichwort {nilpotenten} {} Elementes in einem Ring.

Ein Element $a$ eines \definitionsverweis {Ringes}{}{} $R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mathl{a^n=0}{} ist für eine natürliche Zahl $n$.

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.} Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe richtet sich vor allem an diejenigen, die im Proseminar den Begriff einer \stichwort {trigonalisierbaren Matrix} {} kennengelernt haben.

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $f$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass dann $f$ sogar \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{Auf welche Matrixgestalt kann man in Dimension zwei und drei eine trigonalisierbare eigentliche Isometrie bringen?} {}