Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 11

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Betrachte den Beweis zu Lemma 11.2 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.

  1. Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
  2. ist die Vereinigung aller .
  3. Sei . Das Element kommt in genau zwei der vor. In welchen?
  4. Die Halbachsenklasse enthält Elemente.


Aufgabe

Überprüfe die Formel
für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.


Aufgabe

Sei eine Gruppe, eine Menge und

ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von . Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus

in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.


Aufgabe

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und vier Geraden im durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei

eine lineare, eigentliche Isometrie mit für . Zeige, dass die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der realisieren lässt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Drehungen um die -Achse, die -Achse und die -Achse mit den Ordungen ( ist also eine Drehung um den Winkel Grad um die -Achse, etc.). Es sei . Für welche Tupel ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Gruppe und seien Untergruppen von . Zeige folgende Aussagen.

  1. ist genau dann eine Gruppe, wenn gilt.
  2. Ist endlich, so gilt .
  3. Sind und echte Untergruppen von , so gilt .


Die nächste Aufgabe verwendet das Konzept einer exakten Sequenz.

Seien Gruppen und Gruppenhomomorphismen derart, dass für gilt. Dann heißt

eine exakte Sequenz von Gruppen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei

eine exakte Sequenz von Gruppen, wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und die triviale Gruppe sei. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.


Für die folgende Aufgabe gibt es keinen festen Abgabetermin. Sie gilt so lange, bis eine befriedigende Lösung auf Commons hochgeladen wurde.

Aufgabe (10 Punkte)

Schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Kugeloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen (wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben), und welche Endposition (?) sie einnehmen.



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