Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 13

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Nichtnullteiler in . Zeige, dass das Produkt ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Es sei ein Ring, bei dem das multiplikative Monoid eine Gruppe ist. Welche Möglichkeiten gibt es da?


Aufgabe

Es sei eine Menge mit zwei Verknüpfungen, die beide für sich ein Monoid bilden. Ferner seien beide Verknüpfungen miteinander distributiv verbunden. Gibt es (interessante) Beispiele für eine solche algebraische Struktur? Kann ein Ring diese doppelte Distributivität besitzen?


Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen , wobei und Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt, außer im Nullring.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Studiere den kanonischen Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring für .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Zeige, dass eine Einheit ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Ring und seien und zwei Mengen mit den in Aufgabe 12.10 konstruierten Ringen und . Zeige, dass eine Abbildung einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ist, wobei die Dimension von bezeichnet.


In der folgenden Aufgabe muss man mittels einiger topologischer Eigenschaften der reellen Zahlen argumentieren.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine Teilmenge von und der Ring der stetigen Funktionen von nach . Dann ist durch

ein Ringhomomorphismus gegeben.

  1. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn abgeschlossen ist.
  2. Für welche Mengen ist injektiv?


In der letzten Aufgabe geht es nochmal „nur“ um Gruppen. Die darin verwendete Konstruktion spielt bei „elliptischen Kurven“ eine wichtige Rolle.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

die für alle Elemente folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. .
Es sei ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus .

(a) Zeige, dass die Verknüpfung

eine kommutative Gruppenstruktur auf mit als neutralem Element definiert.

(b) Es sei nun ein zweites Element aus . Zeige, dass die durch und durch definierten Gruppen isomorph sind.



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