Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ring mit ${}0=1$ der Nullring ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ gibt.

Aufgabe

Formuliere und beweise das allgemeine Distributivitätsgesetz für einen Ring.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}S_{i}\subseteq R,\,i\in I$, Unterringe. Zeige, dass dann auch der Durchschnitt ${}\bigcap _{i\in I}S_{i}$ ein Unterring von ${}R$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Man mache sich dies auch für ${}k<0$ und ${}k\geq n$ klar.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

${}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}\spadesuit ,\heartsuit$ und ${}\clubsuit$ Elemente in ${}R$. Berechne das Produkt

${\left(\spadesuit ^{2}-3\heartsuit \clubsuit \heartsuit -2\clubsuit \heartsuit ^{2}+4\spadesuit \heartsuit ^{2}\right)}{\left(2\spadesuit \heartsuit ^{3}\spadesuit -\clubsuit ^{2}\spadesuit \heartsuit \spadesuit \right)}{\left(1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit ^{2}\heartsuit \right)}.$

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${}n$ als Nenner schreiben kann, einen Unterring von ${}\mathbb {Q}$ bildet.

Die nächste Aufgabe ist online abzugeben. Legen Sie dazu eine Benutzerseite an (siehe hier).

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei ${}R$ ein Ring und es seien ${}a,b\in R$ Elemente, die vertauschbar sind, d.h. es ist ${}ab=ba$. Zeigen Sie, dass die Binomische Formel auch unter dieser Voraussetzung gilt, indem Sie die Einzelschritte in der Gleichungskette im Beweis zu Satz 12.7 begründen. Sagen Sie jeweils, auf welchem Ringaxiom die Gleichung beruht und wo die Voraussetzung eingeht.

Gehen Sie dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie die Zeile

   [[/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint der Beweis der Binomischen Formel. Wenn Sie auf eines der Gleichheitszeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für dieses Gleichheitszeichen ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Binomischer Lehrsatz/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Ring und ${}M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

$A={\left\{f:M\rightarrow R\mid f{\text{ Abbildung}}\right\}}$

eine Ringstruktur.

Die nächste Aufgabe verwendet einige topologische Begriffe. Man kann dabei einen topologischen Raum durch einen metrischen Raum oder eine Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ersetzen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

${}R=C(X,\mathbb {R} )={\left\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetige Abbildung}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist. Man gebe auch ein Beispiel an, das zeigt, dass ${}R$ im Allgemeinen nicht nullteilerfrei ist.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des nilpotenten Elementes in einem Ring.

Ein Element ${}a$ eines Ringes ${}R$ heißt nilpotent, wenn ${}a^{n}=0$ ist für eine natürliche Zahl ${}n$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}f,g\in R$ nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ${}f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

Die folgende Aufgabe richtet sich vor allem an diejenigen, die im Proseminar den Begriff einer trigonalisierbaren Matrix kennengelernt haben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann ${}f$ sogar diagonalisierbar ist.

Auf welche Matrixgestalt kann man in Dimension zwei und drei eine trigonalisierbare eigentliche Isometrie bringen?