Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein Ring, bei dem das multiplikative Monoid eine Gruppe ist. Welche Möglichkeiten gibt es da?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ eine Menge mit zwei \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{,} die beide für sich ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} bilden. Ferner seien beide Verknüpfungen miteinander distributiv verbunden. Gibt es \zusatzklammer {interessante} {} {} Beispiele für eine solche algebraische Struktur? Kann ein \definitionsverweis {Ring}{}{} diese doppelte Distributivität besitzen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} eines \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} wieder ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit Elementen
\mathl{x,y,z,w\in R}{,} wobei $z$ und $w$ \definitionsverweis {Einheiten}{}{} seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln. \aufzaehlungacht{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 1 } } }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ x } } }
{ =} { x^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ -1 } } }
{ =} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 0 }{ z } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ z }{ z } } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } }
{ =} { { \frac{ xw }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } \cdot { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xy }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xw+yz }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-z) \cdot (y-w) }
{ =} { (x+w)(y+z)-(z+w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} Zeige, dass die \anfuehrung{beliebte Formel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} {{ \frac{ x+y }{ z+w } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gilt, außer im Nullring.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Studiere den \definitionsverweis {kanonischen Ringhomomorphismus}{}{} in den \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} für $R=\Z$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} ein \definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.} Zeige, dass $1+f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} zwei Mengen mit den in Aufgabe 12.10 konstruierten Ringen \mathkor {} {A=\operatorname{Abb} \, { \left( L , R \right) }} {und} {B=\operatorname{Abb} \, { \left( M , R \right) }} {.} Zeige, dass eine Abbildung \maabb {} {L} {M } {} einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {B} {A } {} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei $n$ die Dimension von $V$ bezeichnet.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe muss man mittels einiger topologischer Eigenschaften der reellen Zahlen argumentieren.


\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $X$ eine Teilmenge von $\R$ und $C(X, \R)$ der \definitionsverweis {Ring der stetigen Funktionen}{}{} von $X$ nach $\R$. Dann ist durch \maabbeledisp {\varphi} { C(\R, \R) } { C(X, \R) } {f} { f \vert_X } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} gegeben. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn $X$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist. } {Für welche Mengen $X$ ist $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{?} }

}
{} {}

In der letzten Aufgabe geht es nochmal \anfuehrung{nur}{} um Gruppen. Die darin verwendete Konstruktion spielt bei \anfuehrung{elliptischen Kurven}{} eine wichtige Rolle.


\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {*} {M \times M} {M } {(P,Q)} {P*Q } {,} die für alle Elemente $P,Q,R,S \in M$ folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungdrei{$P*Q=Q*P$ }{$(P*Q)*P= Q$ }{$((P*Q)*R)*S=P*((Q*S)*R)$. } Es sei ${\mathfrak O }$ ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus $M$. (a) Zeige, dass die Verknüpfung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P+Q }
{ \defeq} {(P*Q)* {\mathfrak O } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {kommutative Gruppenstruktur}{}{} auf $M$ mit ${\mathfrak O }$ als neutralem Element definiert.

(b) Es sei nun ${\mathfrak O } '$ ein zweites Element aus $M$. Zeige, dass die durch ${\mathfrak O }$ und durch ${\mathfrak O } '$ definierten Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}