Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 14

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.


Aufgabe *

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.


Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .




Aufgaben zum Abgeben


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige direkt, ohne mit Restklassen zu argumentieren, dass eine Primzahl die Eigenschaft besitzt, dass wenn ein Produkt teilt, dass sie dann einen der Faktoren teilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Studiere den kanonischen Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring für für .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei , , eine Familie von Elementen in . Es sei angenommen, dass die zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie , gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.


In der folgenden Aufgabe darf man wieder den topologischen Raum durch einen metrischer Raum bzw. eine offene Teilmenge des ersetzen.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?



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