Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 13

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Einheiten

Definition  

Ein Element in einem Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit

gibt.

Das Element mit der Eigenschaft ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch die Eigenschaft , so ist

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte mit nennt man das (multiplikativ) Inverse zu und bezeichnet es mit
Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus folgt ja sofort .

Definition  

Die Einheitengruppe in einem Ring ist die Teilmenge aller Einheiten in . Sie wird mit bezeichnet.

Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bzgl. der Multiplikation mit als neutralem Element). Wenn und die Inversen und haben, so ist das Inverse von gleich .

Zu einer Einheit machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann für definiert. Die Zahl (also das Negative zu ) ist stets eine Einheit, da ja ist. Bei besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also . Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit. Für eine Einheit ist auch die Bruchschreibweise erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn eine Einheit ist und beliebig, so setzt man

Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein!

Wenn außer der Null alle Elemente Einheiten sind, so verdient das einen eigenen Namen, wovon der folgende Abschnitt handelt.



Körper

Viele wichtige Zahlbereiche haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl - mit der Ausnahme der Null! - auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert.


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Es sind also die rationalen Zahlen , die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung noch viele weitere Körper kennenlernen. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von null verschiedenen Elemente eine Gruppe (mit der Multiplikation) bilden.


Definition  

Es sei ein Körper. Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .

Wenn ein Unterring in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob mit jedem von null verschiedenen Element auch das Inverse (das in existiert) enthält. Bei einem Unterring , wobei ein Körper ist, aber nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet.


Definition  

Sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.



Ringhomomorphismen

Definition  

Seien und Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also , nur bei ein Ringhomomorphismus.



Satz  

Sei ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

Beweis  

Ein Ringhomomorphismus muss die auf die abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 5.5 genau einen Gruppenhomomorphismus

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass . ist, wobei hier die Multiplikation in bezeichnet. Dies folgt aber aus dem allgemeinen Distributivgesetz.


Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von nach .


Definition  

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.

Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.



Lemma  

Sei ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von null oder eine Primzahl.

Beweis  

Die Charakteristik sei  und es sei angenommen, dass keine Primzahl ist, also eine Zerlegung mit kleineren Zahlen besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist in und ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 13.7 ist , so dass, weil ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von .




Satz  

Sei ein Ring und sei der Endomorphismenring der additiven Gruppe .

Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus

Beweis  

Für jedes ist die Multiplikation

ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.

Für die Gesamtzuordnung gilt zunächst und . Wegen

für jedes ist additiv. Die Multiplikativität folgt aus

Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus folgt, dass insbesondere sein muss.



Lemma

Seien und Ringe und sei

ein Ringhomomorphismus. Es sei eine Einheit.

Dann ist auch eine Einheit.

Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus

Beweis

Das ist trivial.




Ideale

Wir beschränken uns im Folgenden auf kommutative Ringe, um nicht zwischen Linksidealen, Rechtsidealen und beidseitigen Idealen unterscheiden zu müssen.


Definition  

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von , die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal und das Einheitsideal .

Für den Ring der ganzen Zahlen sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt für jede Untergruppe von (die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt), aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für und beliebiges gilt ( Summanden) und entsprechend für negatives . Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ringelement lässt sich also bei auf die Addition zurückführen.


Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.

Wir werden auf Hauptideale im Rahmen der Teilbarkeitstheorie bald zurückkommen.


Definition  

Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

wobei eine endliche Teilmenge und ist.

Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in , das alle , , enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.

Die Idealtheorie in einem Ring reflektiert viele Eigenschaften des Ringes, worauf wir im Rahmen der Teilbarkeitstheorie zurückkommen werden. Eine erste Beobachtung in diese Richtung kommt im folgenden Lemma zum Ausdruck.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Körper.
  2. Es gibt in genau zwei Ideale.

Beweis  

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , so dass eine Einheit ist.




Ideale unter einem Ringhomomorphismus

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.



Satz  

Seien und kommutative Ringe und sei

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

ein Ideal in .

Beweis  

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität. Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.



Korollar  

Es sei ein Körper und ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist injektiv.

Beweis  

Es genügt nach Lemma 5.12 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ist. Nach Satz 13.6 ist der Kern ein Ideal. Da die auf geht, ist der Kern nicht ganz . Da es nach Lemma 13.15 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.



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