Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 13

Einheiten

Definition

Ein Element ${}u$ in einem Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit

${}uv=vu=1\,$

gibt.

Das Element ${}v$ mit der Eigenschaft ${}uv=vu=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch ${}w$ die Eigenschaft ${}uw=wu=1$, so ist

${}v=v_{1}=v(uw)=1w=w\,.$

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte ${}v$ mit ${}uv=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu ${}u$ und bezeichnet es mit

$u^{-1}.$

Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft ${}uv=1$ überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus ${}ux=0$ folgt ja sofort ${}x=u^{-1}ux=0$.

Definition

Die Einheitengruppe in einem Ring ${}R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in ${}R$. Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bzgl. der Multiplikation mit ${}1$ als neutralem Element). Wenn ${}v$ und ${}w$ die Inversen ${}v^{-1}$ und ${}w^{-1}$ haben, so ist das Inverse von ${}vw$ gleich ${}w^{-1}v^{-1}$.

Zu einer Einheit ${}u\in R$ machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann ${}u^{n}$ für ${}n\in \mathbb {Z}$ definiert. Die Zahl ${}-1$ (also das Negative zu ${}1$) ist stets eine Einheit, da ja ${}(-1)(-1)=1$ ist. Bei ${}\mathbb {Z}$ besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also ${}\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$. Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit. Für eine Einheit ist auch die Bruchschreibweise erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn ${}u$ eine Einheit ist und ${}x\in R$ beliebig, so setzt man

${}{\frac {x}{u}}=xu^{-1}\,.$

Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein!

Wenn außer der Null alle Elemente Einheiten sind, so verdient das einen eigenen Namen, wovon der folgende Abschnitt handelt.

Körper

Viele wichtige Zahlbereiche haben die Eigenschaft, dass man durch jede Zahl - mit der Ausnahme der Null! - auch dividieren darf. Dies wird durch den Begriff des Körpers präzisiert.

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Es sind also die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ und die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ Körper, die ganzen Zahlen dagegen nicht. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung noch viele weitere Körper kennenlernen. Einen Körper kann man auch charakterisieren als einen kommutativen Ring, bei der die von null verschiedenen Elemente eine Gruppe (mit der Multiplikation) bilden.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Unterring ${}M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von ${}K$.

Wenn ein Unterring ${}R\subseteq K$ in einem Körper vorliegt, so muss man nur noch schauen, ob ${}R$ mit jedem von null verschiedenen Element ${}x$ auch das Inverse ${}x^{-1}$ (das in ${}K$ existiert) enthält. Bei einem Unterring ${}R\subseteq S$, wobei ${}R$ ein Körper ist, aber ${}S$ nicht, so spricht man nicht von einem Unterkörper. Die Situation, wo ein Körper in einem anderen Körper liegt, wird als Körpererweiterung bezeichnet.

Definition

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ ein Unterkörper von ${}L$. Dann heißt ${}L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von ${}K$ und die Inklusion ${}K\subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Ringhomomorphismen

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Zu einem Unterring ${}S\subseteq R$ ist die natürliche Inklusion ein Ringhomomorphismus. Die konstante Abbildung ${}R\rightarrow 0$ in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also ${}0\rightarrow R$, nur bei ${}R=0$ ein Ringhomomorphismus.

Satz

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die ${}1$ auf die ${}1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 5.5 genau einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass ${}(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$. ist, wobei ${}*$ hier die Multiplikation in ${}R$ bezeichnet. Dies folgt für ${}m,n\geq 0$ aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige ${}m,n$ aufgrund der Vorzeichenregeln.

$\Box$

Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$.

Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Wichtige Ringe wie ${}\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ besitzen die Charakteristik ${}0$, die Restklassenringe ${}d$ besitzen die Charakteristik ${}d$. Die Charakteristik ist die Ordnung des Elementes ${}1_{R}$ in der additiven Gruppe ${}(R,0,+)$ (allerdings entspricht die Ordnung ${}\infty$ der Charakteristik ${}0$). Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von ${}R$ null oder eine Primzahl.

Beweis

Die Charakteristik sei ${}n>0$  und es sei angenommen, dass ${}n$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung ${}n=ab$ mit kleineren Zahlen ${}0<a,b<n$ besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist ${}n_{R}=0$ in ${}R$ und ${}n$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 13.7 ist ${}a_{R}b_{R}=n_{R}=0$, sodass, weil ${}R$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von ${}n$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Ring und sei ${}\operatorname {End} (R)$ der Endomorphismenring der additiven Gruppe ${}(R,+,0)$.

Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow \operatorname {End} (R),\,f\longmapsto (g\mapsto fg).$

Beweis

Für jedes ${}f\in R$ ist die Multiplikation

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus der Distributivität und der Eigenschaft ${}f0=0$ folgt. Die Gesamtabbildung ist also wohldefiniert.

Für die Gesamtzuordnung ${}f\mapsto \mu _{f}$ gilt zunächst ${}\mu _{0}=0$ und ${}\mu _{1}=\operatorname {id} =1$. Wegen

${}\mu _{f_{1}+f_{2}}(g)=(f_{1}+f_{2})g=f_{1}g+f_{2}g=\mu _{f_{1}}(g)+\mu _{f_{2}}(g)=(\mu _{f_{1}}+\mu _{f_{2}})(g)\,$

für jedes ${}g\in R$ ist ${}\mu$ additiv. Die Multiplikativität folgt aus

${}\mu _{f_{1}f_{2}}(g)=f_{1}f_{2}g=\mu _{f_{1}}(f_{2}g)=\mu _{f_{1}}(\mu _{f_{2}}(g))=(\mu _{f_{1}}\circ \mu _{f_{2}})(g)\,.$

Schließlich ist die Abbildung injektiv, da aus ${}\mu _{f}=0$ folgt, dass insbesondere ${}f=f1=0$ sein muss.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}u\in R^{\times }$ eine Einheit.

Dann ist auch ${}\varphi (u)$ eine Einheit.

Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus

$R^{\times }\longrightarrow S^{\times }.$

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Ideale

Wir beschränken uns im Folgenden auf kommutative Ringe, um nicht zwischen Linksidealen, Rechtsidealen und beidseitigen Idealen unterscheiden zu müssen.

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von ${}R$, die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal ${}0$ und das Einheitsideal ${}R$.

Für den Ring der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt ${}H=\mathbb {Z} d$ für jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ (die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt), aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für ${}k\in H$ und beliebiges ${}r\in \mathbb {N}$ gilt ${}rk=k+k+\cdots +k$ (${}r$ Summanden) und entsprechend für negatives ${}r$. Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ringelement lässt sich also bei ${}\mathbb {Z}$ auf die Addition zurückführen.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Wir werden auf Hauptideale im Rahmen der Teilbarkeitstheorie bald zurückkommen.

Definition

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in ${}R$, das alle ${}a_{j}$, ${}j\in J$, enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.

Die Idealtheorie in einem Ring reflektiert viele Eigenschaften des Ringes, worauf wir im Rahmen der Teilbarkeitstheorie zurückkommen werden. Eine erste Beobachtung in diese Richtung kommt im folgenden Lemma zum Ausdruck.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Körper.
2. Es gibt in ${}R$ genau zwei Ideale.

Beweis

Wenn ${}R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}I$ ein Element ${}x\neq 0$, das eine Einheit ist. Damit ist ${}1=xx^{-1}\in I$ und damit ${}I=R$.

Es sei umgekehrt ${}R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann ${}R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun ${}x$ ein von ${}0$ verschiedenes Element in ${}R$. Das von ${}x$ erzeugte Hauptideal ${}Rx$ ist ${}\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ${}1\in Rx$ ist. Das bedeutet also ${}1=xr$ für ein ${}r\in R$, sodass ${}x$ eine Einheit ist.

$\Box$

Ideale unter einem Ringhomomorphismus

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.

Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

Beweis

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

$\Box$

Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität. Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

$\varphi \colon K\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ injektiv.

Beweis

Es genügt nach Lemma 5.12 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ${}0$ ist. Nach Satz 13.6 ist der Kern ein Ideal. Da die ${}1$ auf ${}1\neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz ${}K$. Da es nach Lemma 13.15 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

$\Box$

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