Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 25

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.


Aufgabe

Es sei eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch eine quadratische Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Ist die Zahl, die den „goldenen Schnitt“ beschreibt, eine konstruierbare Zahl?


Aufgabe

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei konstruierbaren komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine konstruierbare Zahl und eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt und Radius konstruierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien drei konstruierbare Punkte derart, dass die Abstände und gleich sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung

gibt, die auf , auf und auf schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten (bei „gleichstufiger Stimmung“) eine konstruierbare Zahl?


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Zahl genau dann konstruierbar ist, wenn und konstruierbar sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer konstruierbaren komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass einerseits und andererseits , , eine -Basis von bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.



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