Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]$ ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subset K'\,(\subseteq \mathbb {R} )$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]\subset K'[{\mathrm {i} }]$ eine quadratische Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Ist die Zahl, die den „goldenen Schnitt“ beschreibt, eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe

Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei konstruierbaren komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}Z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl und ${}r$ eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt ${}Z$ und Radius ${}r$ konstruierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P,Q_{1},Q_{2}$ drei konstruierbare Punkte derart, dass die Abstände ${}d(P,Q_{1})$ und ${}d(P,Q_{2})$ gleich ${}1$ sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden ${}90$ Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung

$\varphi \colon E=\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow E=\mathbb {R} ^{2}$

gibt, die ${}0$ auf ${}P$, ${}1$ auf ${}Q_{1}$ und ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}Q_{2}$ schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten (bei „gleichstufiger Stimmung“) eine konstruierbare Zahl?

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Zahl ${}re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r\left(\cos \varphi ,\,\sin \varphi \right)$ genau dann konstruierbar ist, wenn ${}r$ und ${}e^{{\mathrm {i} }\varphi }$ konstruierbar sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer konstruierbaren komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.$

Zeige, dass einerseits ${}1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}$ und andererseits ${}({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}$, ${}i=0,1,2,3$, eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.