Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $L = K (X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings $K [X]$ . Zeige, dass $K \subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Es sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.

Es sei $K \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Bestimme das sechste Kreisteilungspolynom $Φ_{6}$ und beschreibe die Primfaktorzerlegung von $X^{6} - 1$ .

Aufgaben zum Abgeben

Es seien $F, G \in ℤ [X]$ normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass $F = G H$ ist mit $H \in ℚ [X]$ . Zeige, dass $H \in ℤ [X]$ ist.

Bestimme die Kreisteilungspolynome $Φ_{n}$ für $n \leq 15$ .

Es sei $n \in ℕ$ ungerade. Zeige, dass der $n$ -te Kreisteilungskörper mit dem $2 n$ -ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in $ℂ$ .

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.