Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass ${}K\subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Aufgabe

Bestimme das sechste Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{6}$ und beschreibe die Primfaktorzerlegung von ${}X^{6}-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$ normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass ${}F=GH$ ist mit ${}H\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass ${}H\in \mathbb {Z} [X]$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ für ${}n\leq 15$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ ungerade. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper mit dem ${}2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal