Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 12/latex

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\setcounter{section}{12}






\zwischenueberschrift{Ringe}

Wir beginnen einen neuen Abschnitt dieser Vorlesung, in dem es um Ringe geht.




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionswort {Ring}{} $R$ ist eine Menge mit zwei \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} \mathkor {} {+} {und} {\cdot} {} und mit zwei ausgezeichneten Elementen \mathkor {} {0} {und} {1} {} derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungdrei{
\mathl{(R, +,0)}{} ist eine \definitionsverweis {abelsche Gruppe}{}{.} }{
\mathl{(R, \cdot,1)}{} ist ein \definitionsverweis {Monoid}{}{.} }{Es gelten die
\definitionswortenp{Distributivgesetze}{,} also \mathkor {} {a \cdot (b+c) = ( a \cdot b) + (a \cdot c)} {und} {(b+c) \cdot a = ( b \cdot a) + (c \cdot a)} {} für alle
\mathl{a,b,c \in R}{.}}

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {kommutativ}{,} wenn die Multiplikation kommutativ ist.

}

In einem kommutativen Ring muss man nicht zwischen den beiden Formen des Distributivgesetzes unterscheiden. Das Basismodell für einen \zusatzklammer {kommutativen} {} {} Ring bildet die Menge der ganzen Zahlen $\Z$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation. Die $0$ ist das neutrale Element der Addition und die $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation. Der Nachweis, dass $\Z$ die Axiome eines Ringes, also die oben aufgelisteten Eigenschaften, erfüllt, beruht letztlich auf den Peano-Axiomen für die natürlichen Zahlen $\N$ und ist ziemlich formal. Darauf wollen wir verzichten und stattdessen diese seit langem vertrauten Gesetzmäßigkeiten akzeptieren \zusatzklammer {im Arbeitsblatt zu den Peano-Axiomen stehen die wichtigsten Beweisschritte} {} {.}

Die natürlichen Zahlen bilden keinen Ring, da sie noch nicht einmal eine additive Gruppe bilden. Die Zahlbereiche
\mathl{\Q, \R, {\mathbb C}}{} sind ebenfalls kommutative Ringe, wobei der Nachweis der Eigenschaften dadurch geschieht, dass man die Konstruktion dieser Zahlbereiche aus den \anfuehrung{vorhergehenden}{} betrachtet \zusatzklammer {etwa $\R$ aus $\Q$} {} {} und die Gültigkeit \zusatzklammer {in $\R$} {} {} auf die Gültigkeit im \anfuehrung{Vorgänger}{} \zusatzklammer {$\Q$} {} {} zurückführt.

Wir benutzen allgemein die \stichwort {Klammerkonvention} {,} dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung, d.h. wir schreiben einfach
\mathl{ab+cd}{} statt
\mathl{(ab)+(cd)}{.} Das Inverse zu
\mathl{a\in R}{} bezüglich der Addition, das es ja immer gibt, schreiben wir als $-a$ und nennen es das \stichwort {Negative} {} von $a$. Statt
\mathl{a+(-b)}{} schreiben wir
\mathl{a-b}{.} An weiteren Notationen verwenden wir für ein Ringelement
\mathl{a \in R}{} und eine natürliche Zahl
\mathl{n \in \N}{} die Schreibweisen \mathkor {} {na=a + \cdots + a \, \, (n \text{ Summanden})} {und} {a^n =a \cdots a \, \, (n \text{ Faktoren})} {.} Bei negativen
\mathl{n \in \Z}{} ist
\mathl{na=(-n)(-a)}{} zu interpretieren \zusatzklammer {dagegen macht
\mathl{a^n}{} mit negativen Exponenten im Allgemeinen keinen Sinn} {} {.} Statt
\mathl{n1=n1_R}{} schreiben wir einfach $n$ \zusatzklammer {bzw. manchmal $n_R$} {} {,} d.h. jede ganze Zahl findet sich in jedem Ring wieder.




\inputbeispiel{}
{

Die einelementige Menge
\mathl{R=\{0\}}{} kann man zu einem \definitionsverweis {Ring}{}{} machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch \mathkor {} {0+0=0} {und} {0 \cdot 0=0} {.} In diesem Fall ist
\mathl{1=0}{,} dies ist also ausdrücklich erlaubt. Diesen Ring nennt man den
\definitionswortenp{Nullring}{.}


}

Nach dem Nullring ist der folgende Ring der zweitkleinste Ring.




\inputbeispiel{}
{

Wir suchen nach einer \definitionsverweis {Ringstruktur}{}{} auf der Menge
\mathl{\{0,1\}}{.} Wenn $0$ das neutrale Element einer Addition und $1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da
\mathl{1+1=0}{} sein muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus.

%Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $+$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 1 }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 1 }

\renewcommand{\azweixzwei}{ 0 }

\renewcommand{\azweixdrei}{ }

\renewcommand{\azweixvier}{ }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ }

\renewcommand{\adreixzwei}{ }

\renewcommand{\adreixdrei}{ }

\renewcommand{\adreixvier}{ }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ }

\renewcommand{\avierxzwei}{ }

\renewcommand{\avierxdrei}{ }

\renewcommand{\avierxvier}{ }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitzweixzwei


und

%Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\cdot$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 0 }

\renewcommand{\azweixzwei}{ 1 }

\renewcommand{\azweixdrei}{ }

\renewcommand{\azweixvier}{ }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ }

\renewcommand{\adreixzwei}{ }

\renewcommand{\adreixdrei}{ }

\renewcommand{\adreixvier}{ }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ }

\renewcommand{\avierxzwei}{ }

\renewcommand{\avierxdrei}{ }

\renewcommand{\avierxvier}{ }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitzweixzwei


Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} handelt \zusatzklammer {sogar um einen \definitionsverweis {Körper}{}{}} {} {.}


}





\inputfaktbeweis
{Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien
\mathl{a,b,c,a_1 , \ldots , a_r, b_1 , \ldots , b_s}{} Elemente aus $R$.}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Aussagen. \aufzaehlungfuenf{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 a }
{ =} {a 0 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {\stichwort {Annullationsregel} {}} {} {,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a(-b) }
{ =} { -(ab) }
{ =} { (-a)b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-a)(-b) }
{ =} { ab }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {\stichwort {Vorzeichenregel} {}} {} {,} }{\mathkor {} {a(b-c)=ab-ac} {und} {(b-c)a=ba-ca} {,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^r a_i \right) } { \left( \sum_{k = 1}^s b_k \right) } }
{ =} {\sum_{ 1 \leq i \leq r,\, 1 \leq k \leq s } a_ib_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {\stichwort {allgemeines Distributivgesetz} {}} {} {.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte. \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a0 }
{ = }{a(0+0) }
{ = }{a0+a0 }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{.} Durch beidseitiges Abziehen von $a0$ ergibt sich die Behauptung. }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-a)b +ab }
{ =} {(-a+a)b }
{ =} {0b }
{ =} {0 }
{ } {}
} {}{}{} nach Teil (1). Daher ist $(-a)b$ das \zusatzklammer {eindeutig bestimmte} {} {} Negative von $ab$. }{Nach (2) ist
\mathl{(-a)(-b) = (-(-a))b}{} und wegen $-(-a)=a$ \zusatzklammer {dies gilt in jeder Gruppe} {} {} folgt die Behauptung. }{Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen. }{Dies folgt aus einer einfachen Doppelinduktion. }

}







\zwischenueberschrift{Die Binomialkoeffizienten}




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {k} {und} {n} {} natürliche Zahlen mit
\mathl{k \leq n}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k} }
{ \defeq} {\frac{ n !}{ k ! ( n - k)! } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {Binomialkoeffizienten}{} \anfuehrung{$n$ über $k$}{.}

}

Wenn
\mathl{k >n}{} ist oder wenn $k$ negativ ist so setzt man den Binomialkoeffizienten gleich null.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {A_plus_b_au_carre.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { A plus b au carre.svg } {} {Alkarex} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}






\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{a,b \in R}{.} Ferner sei $n$ eine natürliche Zahl.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k} a^{k} b^{n - k}} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mathl{n=0}{} steht einerseits
\mathl{(a+b)^0=1}{} und andererseits
\mathl{a^0b^0=1}{.} Sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{(a+b)^{n+1} }
{ =} {(a+b) (a+b)^n }
{ =} {(a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k} a^{k} b^{n - k} \right) } }
{ =} {a \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k} a^{k} b^{n - k}\right) + b \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k} a^{k} b^{n - k} \right) }
{ =} {\sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k} a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k} a^{k} b^{n - k+1} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1} a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k} a^{k} b^{n - k+1} }
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \left( \binom { n } { k-1} + \binom { n } { k} \right) a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1} }
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k} a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1} }
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k} a^{k} b^{n+1 - k} }
}{}{.}

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Binomio_al_cubo.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Binomio al cubo.svg } {Drini} {} {Commons} {PD} {}







\zwischenueberschrift{Nichtnullteiler und Integritätsbereiche}




\inputdefinition
{}
{

Ein Element $a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Nullteiler}{,} wenn es ein von $0$ verschiedenes Element $b$ mit $ab=0$ gibt. Andernfalls heißt es ein \definitionswort {Nichtnullteiler}{.}

}

Im nicht kommutativen Fall hat man zwischen Links- und Rechtsnullteilern zu unterscheiden. Die Eins ist stets ein Nichtnullteiler, da aus
\mathl{1b =0}{} sofort
\mathl{b=0}{} folgt. Andererseits ist das Nullelement stets ein Nullteiler, es sei denn, der Nullring liegt vor.





\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler und Kürzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{f \in R}{} ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann folgt aus einer Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fx }
{ =} {fy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dass
\mathl{x=y}{} sein muss.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Man kann die Gleichung zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {fx-fy }
{ =} {f(x-y) }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} umschreiben. Da $f$ ein Nichtnullteiler ist, ist
\mathl{x-y=0}{,} also
\mathl{x=y}{.}

}


Ein Ring, bei dem es außer der Null keine Nullteiler gibt, heißt \stichwort {nullteilerfrei} {.}


\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{,} \definitionsverweis {nullteilerfreier}{}{,} von $0$ verschiedener \definitionsverweis {Ring}{}{} heißt \definitionswort {Integritätsbereich}{.}

}

Die Eigenschaft, dass jedes Element $\neq 0$ ein Nichtnullteiler ist, kann man auch so ausdrücken, dass aus
\mathl{ab=0}{} stets \mathkor {} {a=0} {oder} {b=0} {} folgt, bzw., dass mit \mathkor {} {a \neq 0} {und} {b \neq 0} {} auch
\mathl{ab \neq 0}{} ist.






\zwischenueberschrift{Unterringe}




\inputdefinition
{}
{

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {Ringes}{}{} nennt man einen \definitionswort {Unterring}{,} wenn sowohl
\mathl{(S,+,0)}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{(R,+,0)}{} als auch
\mathl{(S,\cdot,1)}{} ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{} von
\mathl{(R,\cdot,1)}{} ist.

}

Diese Bedingung besagt insbesondere, dass sich die Addition und die Multiplikation von $R$ auf $S$ einschränken lässt. Ein Unterring ist selbst ein Ring. Zum Nachweis, dass eine gegebene Teilmenge
\mathl{S \subseteq R}{} ein Unterring ist, hat man Folgendes zu zeigen. \aufzaehlungdrei{$0,1 \in S$. }{$S$ ist abgeschlossen unter der Addition und der Multiplikation. }{Mit $f \in S$ ist auch $-f \in S$. } Die natürlichen Zahlen $\N$ erfüllen in $\Z$ die ersten beiden Bedingungen, aber nicht die dritte. Die Menge aller geraden Zahlen erfüllen alle Bedingungen außer der, dass $1$ dazugehört. Ebenso ist $\{0\}$ kein Unterring, da darin die $1$ fehlt \zusatzklammer {obwohl im Nullring für sich betrachtet
\mathl{0=1}{} ist, das ist aber nicht die $1$ von $\Z$} {} {.} Die Menge
\mathl{\{-1,0,1\}}{} erfüllt die erste und die dritte Bedingung und ist abgeschlossen unter der Multiplikation, aber nicht unter der Addition. Die ganzen Zahlen $\Z$ haben überhaupt nur sich selbst als Unterring. Wir haben die Kette von Unterringen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z }
{ \subset} { \Q }
{ \subset} {\R }
{ \subset} {{\mathbb C} }
{ } { }
} {}{}{.}






\zwischenueberschrift{Endomorphismenringe}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $(G,0,+)$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{End} G }
{ =} {{ \left\{ \varphi :G \rightarrow G \mid \varphi \text{ ist ein Gruppenhomomorphismus} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {Endomorphismenring}{} zu $G$. Er wird mit der \definitionswort {Addition}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi+\psi)(x) }
{ \defeq} {\varphi(x)+ \psi(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} als \definitionswort {Multiplikation}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \psi }
{ \defeq} { \varphi \circ \psi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} versehen.

}

Der Endomorphismenring zu einer Gruppe ist mit den angegebenen Verknüpfungen in der Tat ein Ring. Dabei folgt die kommutative Gruppenstruktur für die Addition aus einer direkten Rechnung. Die Hintereinanderschaltung von zwei Gruppenhomomorphismen ergibt nach Lemma 5.3 wieder einen Gruppenhomomorphismus. Die Assoziativität der Multiplikation und dass die Identität das neutrale Element ist, gilt allgemeiner für die Verknüpfung von Abbildungen. Für die Distributivität seien Gruppenhomomorphismen
\mathl{\varphi, \psi, \theta}{} gegeben. Dann gilt für jedes $x \in G$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\verknuepfung {\varphi} { (\psi + \theta) })(x) }
{ =} { (\psi + \theta) ( \varphi(x)) }
{ =} { \psi ( \varphi(x) ) + \theta ( \varphi(x) ) }
{ =} { (\verknuepfung { \varphi} {\psi})(x) + (\verknuepfung { \varphi} {\theta})(x) }
{ } {}
} {}{}{.}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Wie aus der linearen Algebra bekannt \zusatzklammer {zumindest für den Fall
\mathl{R=\R}{}} {} {} beschreiben
\mathl{n \times n}{-}Matrizen lineare Abbildungen von $R^n$ nach $R^n$. Die Matrizenverknüpfung \zusatzklammer {gemäß der Regel \anfuehrung{Zeile mal Spalte}{}} {} {} definiert dabei die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen. Die Addition von Matrizen, die komponentenweise für jeden Eintrag erklärt ist, beschreibt die Summe von linearen Abbildungen. Mit diesen zwei Verknüpfungen und mit der Nullmatrix als Nullelement und der Einheitsmatrix als Einselement bildet die Menge der Matrizen einen \zusatzklammer {nicht-kommutativen} {} {} Ring, den sogenannten \stichwort {Matrizenring} {} über $R$. Er wird mit
\mathl{\operatorname{Mat}_n(R) \,}{} bezeichnet.


}

Zu einem (sagen wir reellen) Vektorraum $V$ der Dimension $n$ hängen der Endomorphismenring zur additiven Gruppe $(V,+,0)$ und der Matrizenring $\operatorname{Mat}_n \,(\R)$ in folgender Weise zusammen. Nach Wahl einer Basis von $V$ entsprechen die $\R$-linearen Endomorphismen \maabb {} {V} {V } {} den Matrizen, wobei sich die Additionen entsprechen und die Matrizenmultiplikation der Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen entspricht. Andererseits ist jede lineare Abbildung insbesondere ein Gruppenhomomorphismus von $V$ nach $V$, so dass sich die Situation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Mat}_n (\R) }
{ \cong} { \operatorname{End}_{ \R- \operatorname{lin} } (V) }
{ \subseteq} { \operatorname{End} (V) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ergibt, wobei hier ein Unterring vorliegt.



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