Kurs:Einführung in die mathematische Logik/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	2	4	2	2	0	4	0	6	0	0	3	0	34

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine widersprüchsfreie Ausdrucksmenge ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ in einer aussagenlogischen Sprache.
2. Ein größtes Element ${}x\in I$ in einer geordneten Menge ${}(I,\preccurlyeq )$.
3. Die Bestandteile einer Grundtermmenge.
4. Ein Isomorphismus

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen zwei ${}S$-Strukturen ${}M$ und ${}N$.

5. Die Register-Entscheidbarkeit einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$.
6. Eine ${}K$-Modallogik.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Zorn.
2. Der Satz über die Division mit Rest in einem Peano-Halbring.
3. Der Satz über die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.

Aufgabe * (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob der aussagenlogische Ausdruck ${}{\left(\neg p\vee q\right)}\rightarrow {\left(p\vee \neg q\right)}$ erfüllbar ist oder nicht.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ eine Menge von überabzählbar vielen Aussagenvariablen und es sei ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine abzählbare Ausdrucksmenge. Ist ${}\Gamma ^{\vdash }$ abzählbar oder überabzählbar?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ eine Menge an Aussagenvariablen und ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge ${}\Gamma '\subseteq L^{V}$ gibt, die ${}\Gamma$ enthält.

Aufgabe * (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

Aufgabe * (2 Punkte)

Formalisiere in der arithmetischen Sprache die (wahre) Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M=\mathbb {Q} _{\geq 0}$ die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen. Zeige, dass ${}M$ ein kommutativer Halbring, aber kein Peano-Halbring ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Im Aufbau der Registermaschine wurde der Druckbefehl durch einen Musiktonbefehl ersetzt, der den Inhalt von ${}R_{1}$ in einen Ton umsetzt, damit man mit der Registermaschine auch komponieren bzw. Lieder kodieren kann. Für ein Lied wurden schon Programmabschnitte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ geschrieben, die die folgende Bedeutung haben: ${}P_{1}$ ist das Vorspiel (${}V$), ${}P_{2}$ ist die Strophe (${}S$), ${}P_{3}$ ist der Refrain (${}R$) und ${}P_{4}$ ist das Gitarrensolo (${}G$). Es soll nun aus den Programmabschnitten ein (anhaltendes) Programm zusammengesetzt werden, derart, dass beim Abspielen des Programms ein Lied der Form

$V-S-R-S-R-G-S-R-R$

erklingt. Dabei darf jeder der Programmabschnitte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ nur einmal im Programmcode auftauchen. Verwende ausschließlich die Grundbefehle.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Zu einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ und einem modallogischen Ausdruck ${}\alpha$ setzen wir

${}M(\alpha )={\left\{w\in M\mid w\vDash \alpha \right\}}\,.$

Zeige

${}M(\Diamond \alpha )=\operatorname {Vorg} {\left(M(\alpha )\right)}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)