Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{} ein fixiertes Element. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X]/(X-a)}{} zu $K$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{P \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{d}{.} Zeige, dass jedes Element im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R=K[X]/(P)}{} durch ein Polynom vom Grad
\mathl{<d}{} repräsentiert werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in
\mathl{\Q[X]/(X^5)}{} das Produkt
\mathdisp {{ \left( 7 X^4- { \frac{ 2 }{ 3 } }X^3 +2X + { \frac{ 1 }{ 5 } } \right) } { \left( - { \frac{ 4 }{ 7 } } X^3 + 4X^2 -3 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\R[X]/(X^2+1)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vereinfache den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[X]/(3,11X^2-4)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[X]/(6X)}{} das Produkt
\mathdisp {(4X^3-2X+3)(3X^3-3X^2+4)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein kennt von einer natürlichen Zahl $n$ nur den Rest bei Division durch $12$. Welche der Reste von $n$ bei Division durch die folgenden Zahlen $e$ kann sie daraus erschließen?
\aufzaehlungneun{
\mathl{e=1}{,}
}{
\mathl{e=2}{,}
}{
\mathl{e=3}{,}
}{
\mathl{e=4}{,}
}{
\mathl{e=5}{,}
}{
\mathl{e=6}{,}
}{
\mathl{e=7}{,}
}{
\mathl{e=8}{,}
}{
\mathl{e=0}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ derart, dass es in $R$ ein Element der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich der additiven Struktur} {} {}
$n$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$, in dem die $4$ mindestens drei \definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe zu jedem
\mathl{n \geq 2}{} einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und ein Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
an, für das
\mathkor {} {nx=0} {und} {x^n =0} {}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} und das \definitionsverweis {Bild}{}{} des \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\Q[X]} { \R } {X} { \sqrt{5} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ein Element. Zeige, dass $f$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/(f)$ ein Integritätsbereich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} eines \definitionsverweis {Hauptidealringes}{}{} wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines \definitionsverweis {Hauptidealbereiches}{}{} kein Hauptidealbereich sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mathl{\varphi: R \rightarrow S}{} ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a})}{} ein Radikal in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungfuenf{Zu einem Körper $K$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \operatorname{Folg}_{\rm } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
mit Werten in $K$. Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist.
Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
}{Es sei von nun an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q,\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder ${\mathbb C}$, sodass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {konvergenten Folgen}{}{}
$\operatorname{Folg}_{\rm konv } (K)$ einen Unterring von $R$ bildet.
}{Zeige im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass die Menge $\operatorname{Folg}_{\rm Cauchy } (\Q)$ der
\definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{}
ebenfalls ein Unterring ist.
}{Betrachte nun die Menge $N$ der
\definitionsverweis {Nullfolgen}{}{}
und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass $N$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x \cdot y
}
{ \in }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
}{Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { \operatorname{Folg}_{\rm Cauchy } (\Q)} { \R
} {}
derart, dass eine Ringisomorphie
\maabbdisp {} { \operatorname{Folg}_{\rm Cauchy } (\Q) /N } { \R
} {}
entsteht.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen mit $n \geq 2$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {\sum_{i = 0}^\ell a_i n^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Darstellung von $a$ zur Basis $n$
\zusatzklammer {also mit $0 \leq a_i <n$} {} {.}
Es sei $k$ ein Teiler von $n-1$. Dann wird $a$ von $k$ genau dann geteilt, wenn die \stichwort {Quersumme} {} $\sum_{i=0}^\ell a_i$ von $k$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $a$ eine positive
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\R[X]/(X^2+a)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/I$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {\Z/(2) [X]/(X^2+X+1)} { }
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit vier Elementen ist.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {reduziert}{,} wenn $0$ das einzige \definitionsverweis {nilpotente Element}{}{} von $R$ ist.
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
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