Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 14/latex

\setcounter{section}{14}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{} ein fixiertes Element. Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X]/(X-a)}{} zu $K$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathl{d}{.} Zeige, dass jedes Element im \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R=K[X]/(P)}{} durch ein Polynom vom Grad
\mathl{<d}{} repräsentiert werden kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mathl{\Q[X]/(X^5)}{} das Produkt
\mathdisp {{ \left( 7 X^4- { \frac{ 2 }{ 3 } }X^3 +2X + { \frac{ 1 }{ 5 } } \right) } { \left( - { \frac{ 4 }{ 7 } } X^3 + 4X^2 -3 \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\R[X]/(X^2+1)}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu ${\mathbb C}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vereinfache den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[X]/(3,11X^2-4)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne im \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[X]/(6X)}{} das Produkt
\mathdisp {(4X^3-2X+3)(3X^3-3X^2+4)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Lucy Sonnenschein kennt von einer natürlichen Zahl $n$ nur den Rest bei Division durch $12$. Welche der Reste von $n$ bei Division durch die folgenden Zahlen $e$ kann sie daraus erschließen? \aufzaehlungneun{
\mathl{e=1}{,} }{
\mathl{e=2}{,} }{
\mathl{e=3}{,} }{
\mathl{e=4}{,} }{
\mathl{e=5}{,} }{
\mathl{e=6}{,} }{
\mathl{e=7}{,} }{
\mathl{e=8}{,} }{
\mathl{e=0}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man konstruiere zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ derart, dass es in $R$ ein Element der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} \zusatzklammer {bezüglich der additiven Struktur} {} {} $n$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man konstruiere einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$, in dem die $4$ mindestens drei \definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe zu jedem
\mathl{n \geq 2}{} einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ und ein Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,} an, für das \mathkor {} {nx=0} {und} {x^n =0} {} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} und das \definitionsverweis {Bild}{}{} des \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\Q[X]} { \R } {X} { \sqrt{5} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} ein Element. Zeige, dass $f$ genau dann ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/(f)$ ein Integritätsbereich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $p$ genau dann ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} eines \definitionsverweis {Hauptidealringes}{}{} wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines \definitionsverweis {Hauptidealbereiches}{}{} kein Hauptidealbereich sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{\varphi: R \rightarrow S}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Es sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a})}{} ein Radikal in $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungfuenf{Zu einem Körper $K$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ \operatorname{Folg}_{\rm } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge der \definitionsverweis {Folgen}{}{} mit Werten in $K$. Zeige, dass $R$ ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente? }{Es sei von nun an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Q,\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder ${\mathbb C}$, so dass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {konvergenten Folgen}{}{} $\operatorname{Folg}_{\rm konv } (K)$ einen Unterring von $R$ bildet. }{Zeige im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass die Menge $\operatorname{Folg}_{\rm Cauchy } (\Q)$ der \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} ebenfalls ein Unterring ist. }{Betrachte nun die Menge $N$ der \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{} und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass $N$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x \cdot y }
{ \in }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss. }{Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus \maabbdisp {} { \operatorname{Folg}_{\rm Cauchy } (\Q)} { \R } {} derart, dass eine Ringisomorphie \maabbdisp {} { \operatorname{Folg}_{\rm Cauchy } (\Q) /N } { \R } {} entsteht. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen mit $n \geq 2$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {\sum_{i = 0}^\ell a_i n^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Darstellung von $a$ zur Basis $n$ \zusatzklammer {also mit $0 \leq a_i <n$} {} {.} Es sei $k$ ein Teiler von $n-1$. Dann wird $a$ von $k$ genau dann geteilt, wenn die \stichwort {Quersumme} {} $\sum_{i=0}^\ell a_i$ von $k$ geteilt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $a$ eine positive \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\R[X]/(X^2+a)}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu ${\mathbb C}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/I$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}

\mathdisp {\Z/(2) [X]/(X^2+X+1)} { }
ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit vier Elementen ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {reduziert}{,} wenn $0$ das einzige \definitionsverweis {nilpotente Element}{}{} von $R$ ist.

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}