Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestätige den kleinen Fermat direkt für die Primzahlen  ${}p=2,3,5,7,11$. 

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe *

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe

Finde einen Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ derart, dass die Einheitengruppe davon nicht zyklisch ist.

Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit ${}4,8,9,16,25,27,32$ und ${}49$ Elementen.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad  ${}d\geq p$.  Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente  ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$  die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei  ${}f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$.  Finde ein Polynom  ${}g(x)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}[x]$  vom Grad ${}<5$, das für alle Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(5)$ mit ${}f(x)$ übereinstimmt.

Aufgabe *

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-2)$ ein Körper ist und bestimme das Inverse von ${}4x^{2}-2x+5$, wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichne.

Aufgabe

Man gebe einen Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(d)$ an, in dem es nichttriviale idempotente Elemente gibt.

Aufgabe

Finde in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-1)$ nichttriviale idempotente Elemente.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}f\in R$.  Es sei ${}f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass  ${}f=0$  ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\times S$ der Produktring ${}R\times S$. Zeige, dass die Teilmenge ${}R\times 0$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und  ${}p\in R$  ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring ${}R/(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I,J$ Ideale in ${}R$. Es sei weiter

$\varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn  ${}I+J=R$  gilt. Wie sieht ${}\operatorname {kern} \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle  ${}R=\mathbb {Z}$  mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien  ${}I,J\subseteq R$  Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

$\varphi \colon R/I\cap J\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r,r),$

und

$\psi \colon R/I\times R/J\longrightarrow R/I+J,\,(s,t)\longmapsto s-t.$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist, dass ${}\psi$ surjektiv ist und dass

${}\operatorname {bild} \varphi =\operatorname {kern} \psi \,$

ist. Sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ Ringhomomorphismen?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$  verschiedene Elemente und

${}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring ${}K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe *

Das Polynom ${}X^{3}-7X^{2}+3X-21$ besitzt in ${}\mathbb {R} [X]$ die Zerlegung

${}X^{3}-7X^{2}+3X-21=(X-7)(X^{2}+3)\,$

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

${}\mathbb {R} [X]/(X^{3}-7X^{2}+3X-21)\cong \mathbb {R} [X]/(X-7)\times \mathbb {R} [X]/(X^{2}+3)\,.$

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(1,0)$ entspricht.

b) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(0,1)$ entspricht.

Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe

Zeige, dass jeder echte Restklassenring von ${}{\mathbb {C} }[X]$ isomorph zu einem Produktring der Form

${\mathbb {C} }\times \cdots \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})$

ist.

Aufgabe

Realisiere den Produktring

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }$

als einen Restklassenring von ${}\mathbb {R} [X]$.

Aufgabe *

Es seien ${}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe und sei

${}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,$

der Produktring.

1. Es seien

   $I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   $I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

   ein Ideal in ${}R$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${}I\subseteq R$ die Form

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   mit Idealen  ${}I_{j}\subseteq R_{j}$  besitzt.

3. Es sei

   ${}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,$

   ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${}I_{j}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle ${}R_{j}$ Hauptidealringe sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ ein Körper ist und bestimme das Inverse von ${}5x^{2}-x+7$, wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichne.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}e\in R$  ein idempotentes Element. Zeige, dass auch ${}1-e$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung

$R\longrightarrow R/(e)\times R/(1-e)$

eine Bijektion ist.

Der folgende Satz heißt Satz von Wilson.

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist  ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Zerlegung von ${}X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.