Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestätige den kleinen Fermat direkt für die Primzahlen  $p=2,3,5,7,11$. 

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb{Z}/(7)$.

Aufgabe *

Berechne $3^{1457}$ in $\mathbb{Z}/(13)$.

Aufgabe

Finde einen Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ derart, dass die Einheitengruppe davon nicht zyklisch ist.

Aufgabe

Konstruiere endliche Körper mit $4,8,9,16,25,27,32$ und $49$ Elementen.

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{Z}/(p)$ vom Grad  $d\ge p$.  Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $<p$ derart gibt, dass für alle Elemente  $a\in \mathbb{Z}/(p)$  die Gleichheit

$f(a)=g(a)$

gilt.

Aufgabe

Es sei  $f(x)=x^7+2x^3+3x+4\in (\mathbb{Z}/(5))[x]$.  Finde ein Polynom  $g(x)\in (\mathbb{Z}/(5))[x]$  vom Grad $<5$, das für alle Elemente aus $\mathbb{Z}/(5)$ mit $f(x)$ übereinstimmt.

Aufgabe *

a) Zeige, dass durch

$K=\mathbb{Z}/(7)[T]/(T^3-2)$

ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.

Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb{Q}[X]/(X^3-2)$ ein Körper ist und bestimme das Inverse von $4x^2-2x+5$, wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichne.

Aufgabe

Man gebe einen Restklassenring $\mathbb{Z}/(d)$ an, in dem es nichttriviale idempotente Elemente gibt.

Aufgabe

Finde in $\mathbb{Q}[X]/(X^2-1)$ nichttriviale idempotente Elemente.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $f\in R$.  Es sei $f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass  $f=0$  ist.

Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\times S$ der Produktring $R\times S$. Zeige, dass die Teilmenge $R\times 0$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und  $p\in R$  ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring $R/(p^n)$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente $0$ und $1$ besitzt.

Aufgabe

Es seien $R$ ein kommutativer Ring und $I,J$ Ideale in $R$. Es sei weiter

$\phi :R⟶R/I\times R/J,r⟼(r+I,r+J).$

Zeige, dass $\phi$ genau dann surjektiv ist, wenn  $I+J=R$  gilt. Wie sieht $\mathrm{kern}\phi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz, um einzusehen, was das im Falle  $R=\mathbb{Z}$  mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien  $I,J\subseteq R$  Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

$\phi :R/I\cap J⟶R/I\times R/J,r⟼(r,r),$

und

$\psi :R/I\times R/J⟶R/(I+J),(s,t)⟼s-t.$

Zeige, dass $\phi$ injektiv ist, dass $\psi$ surjektiv ist und dass

$\mathrm{bild}\phi =\mathrm{kern}\psi$

ist. Sind $\phi$ und $\psi$ Ringhomomorphismen?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es seien  $a_1,\dots ,a_n\in K$  verschiedene Elemente und

$F=(X-a_1)\cdots (X-a_n)$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring $K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring $K^n$ ist.

Aufgabe *

Das Polynom $X^3-7X^2+3X-21$ besitzt in $ℝ[X]$ die Zerlegung

$X^3-7X^2+3X-21=(X-7)(X^2+3)$

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

$ℝ[X]/(X^3-7X^2+3X-21)\cong ℝ[X]/(X-7)\times ℝ[X]/(X^2+3).$

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element $(1,0)$ entspricht.

b) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element $(0,1)$ entspricht.

Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring $\mathbb{Q}[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe

Zeige, dass jeder echte Restklassenring von $ℂ[X]$ isomorph zu einem Produktring der Form

$ℂ\times \cdots \times ℂ\times ℂ[X]/\left(X^2\right)\times \cdots \times ℂ[X]/\left(X^2\right)\times ℂ[X]/\left(X^3\right)\times \cdots \times ℂ[X]/\left(X^3\right)\times \cdots \times ℂ[X]/\left(X^m\right)\times \cdots \times ℂ[X]/\left(X^m\right)$

ist.

Aufgabe

Realisiere den Produktring

$ℝ\times ℝ\times ℝ\times ℝ\times ℂ\times ℂ\times ℂ$

als einen Restklassenring von $ℝ[X]$.

Aufgabe *

Es seien $R_1,R_2,\dots ,R_n$ kommutative Ringe und sei

$R=R_1\times R_2\times \cdots \times R_n$

der Produktring.

1. Es seien

   $I_1\subseteq R_1,I_2\subseteq R_2,\dots ,I_n\subseteq R_n$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   $I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

   ein Ideal in $R$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal $I\subseteq R$ die Form

   $I=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

   mit Idealen  $I_j\subseteq R_j$  besitzt.

3. Es sei

   $I=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

   ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass $R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb{Z}/(11)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass $a^p-a$ ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass $\mathbb{Q}[X]/(X^3-5)$ ein Körper ist und bestimme das Inverse von $5x^2-x+7$, wobei $x$ die Restklasse von $X$ bezeichne.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $e\in R$  ein idempotentes Element. Zeige, dass auch $1-e$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung

$R⟶R/(e)\times R/(1-e)$

eine Bijektion ist.

Der folgende Satz heißt Satz von Wilson.

Es sei $p$ eine Primzahl.

Dann ist  $(p-1)!=-1modp$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Zerlegung von $X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring $\mathbb{Z}/(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.