Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 14

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Zeige, dass der Restklassenring zu isomorph ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein Polynom vom Grad . Zeige, dass jedes Element im Restklassenring durch ein Polynom vom Grad repräsentiert werden kann.


Aufgabe

Berechne in das Produkt


Aufgabe *

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Aufgabe

Zeige, dass der Restklassenring isomorph zu ist.


Aufgabe

Vereinfache den Restklassenring .


Aufgabe

Berechne im Restklassenring das Produkt


Aufgabe

Lucy Sonnenschein kennt von einer natürlichen Zahl nur den Rest bei Division durch . Welche der Reste von bei Division durch die folgenden Zahlen kann sie daraus erschließen?

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .


Aufgabe

Man konstruiere zu jedem einen kommutativen Ring der Charakteristik derart, dass es in ein Element der Ordnung (bezüglich der additiven Struktur) gibt.


Aufgabe

Man konstruiere einen kommutativen Ring , in dem die mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.


Aufgabe *

Man gebe zu jedem einen kommutativen Ring und ein Element , , an, für das und gilt.


Aufgabe

Bestimme den Kern und das Bild des Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und sei , , ein Element. Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Radikal in . Zeige, dass das Urbild ein Radikal in ist.


Aufgabe

  1. Zu einem Körper sei die Menge der Folgen mit Werten in . Zeige, dass ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
  2. Sei von nun an oder , so dass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der konvergenten Folgen einen Unterring von bildet.
  3. Zeige im Fall , dass die Menge der Cauchy-Folgen ebenfalls ein Unterring ist.
  4. Betrachte nun die Menge der Nullfolgen und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass die Eigenschaft besitzt, dass wenn ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
  5. Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus

    derart, dass eine Ringisomorphie

    entsteht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und natürliche Zahlen mit . Es sei

die Darstellung von zur Basis (also mit ). Es sei ein Teiler von . Dann wird von genau dann geteilt, wenn die Quersumme von geteilt wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zu ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Restklassenring

ein Körper mit vier Elementen ist.


Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.


Ein kommutativer Ring heißt reduziert, wenn das einzige nilpotente Element von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.



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