Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 13

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es seien Ringe. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Identität ist ein Ringhomomorphismus.
  2. Sind und Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
  3. Ist ein Unterring, so ist die Inklusion ein Ringhomomorphismus.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ebenfalls ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch definierte Einsetzungshomomorphismus von nach injektiv ist und dass der durch erzeugte Unterring isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und der Nullring. Bestimme die Ringhomomorphismen von nach und die Ringhomomorphismen von nach .


Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe

Bestimme die Körperautomorphismen von .


Aufgabe

Sei ein Ring und seien und zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.9 konstruierten Ringen und . Zeige, dass eine Abbildung einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ein Teiler von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom genau dann irreduzibel ist, wenn das um „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in die Variable durch ersetzt) irreduzibel ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl. Zeige, dass

ist für alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.



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