Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es seien $R,S,T$ Ringe. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Die Identität ${\mathrm{Id}}_R:R\to R$ ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sind $\phi :R\to S$ und $\psi :S\to T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \phi :R\to T$ ein Ringhomomorphismus.
3. Ist  $R\subseteq S$  ein Unterring, so ist die Inklusion $R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $\phi :\mathbb{Z}\to R$ der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von $R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals  $\mathrm{kern}\phi \subseteq \mathbb{Z}$  ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich der Charakteristik  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Ordnung von jedem Element $x\in R$, $x\ne 0$, ebenfalls $n$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^3+4X-3$ unter dem durch $X\mapsto X^2+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus $K[X]\to K[X]$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $a\in K$  ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]⟶K,X⟼a.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $P\in K[X]$  ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring  $K[P]\subseteq K[X]$  isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $0$ der Nullring. Bestimme die Ringhomomorphismen von $R$ nach $0$ und die Ringhomomorphismen von $0$ nach $R$.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von $\mathbb{Q}$ nach $\mathbb{Z}$ gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von $ℂ$ nach $ℝ$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die Körperautomorphismen von $ℝ$.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Ring und seien $L$ und $M$ zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.9 konstruierten Ringen $A=\mathrm{Abb}(L,R)$ und $B=\mathrm{Abb}(M,R)$. Zeige, dass eine Abbildung $L\to M$ einen Ringhomomorphismus

$B⟶A$

induziert.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $R$ ein Ring mit  $0\ne 1$  und

$\phi :K⟶R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass $\phi$ injektiv ist.

Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und sei

$\phi :L⟶L$

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$L[X]⟶L[X],\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i⟼\sum _{i=0}^n\phi (a_i)X^i,$

ein Ringautomorphismus des Polynomrings $L[X]$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring der Charakteristik  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Ordnung von jedem Element $x\in R$, $x\ne 0$, ein Teiler von $n$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^4-2X^2+5X-2$ unter dem durch $X\mapsto 2X^3+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus $K[X]\to K[X]$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass ein Polynom  $P\in K[X]$  genau dann irreduzibel ist, wenn das um  $a\in K$  „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $X$ durch $X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von $ℝ$ nach $\mathbb{Q}$ gibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})\equiv 0modp$

für alle  $k=1,\dots ,p-1$  ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  $p>0$  enthalte (dabei ist $p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R⟶R,f⟼f^p,$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.