Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ring}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Nullring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es keinen echten \definitionsverweis {Zwischenring}{}{} zwischen $\R$ und ${\mathbb C}$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise das allgemeine Distributivitätsgesetz für einen \definitionsverweis {Ring}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $\spadesuit, \heartsuit$ und $\clubsuit$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( \spadesuit^2-3 \heartsuit \clubsuit \heartsuit-2\clubsuit \heartsuit^2+4 \spadesuit \heartsuit^2 \right) } { \left( 2 \spadesuit \heartsuit^3 \spadesuit-\clubsuit^2 \spadesuit \heartsuit \spadesuit \right) } { \left( 1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit^2\heartsuit \right) }} { . }
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f , a_i, b_j }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige die folgenden Gleichungen:
\mathdisp {\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} + \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} = \sum_{k=0}^{ \max ( n,m) } ( a _{ k}+b _{ k} ) f^{ k }} { }
und
\mathdisp {{ \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} \right) } \cdot { \left( \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} \right) } = \sum_{ k = 0 }^{ n+m } c_{ k } f^{ k} \text{ mit } c_{ k} =\sum_{ r= 0}^{ k } a_{ r } b_{ k - r }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere die \stichwort {binomischen Formeln} {} für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{} die rekursive Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n+1 } { k } }
{ =} { \binom { n } { k } + \binom { n } { k-1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen.

}
{Man mache sich dies auch für $k<0$ und $k \geq n$ klar.} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $M$ gleich dem \definitionsverweis {Binomialkoeffizienten}{}{}
\mathdisp {\binom { n } { k }} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und $M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A }
{ =} { { \left\{ f:M \rightarrow R \mid f \text{ Abbildung} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Ringstruktur.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_i }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} \definitionsverweis {Unterringe}{}{.} Zeige, dass dann auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} S_i$ ein Unterring von $R$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} $\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der \definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Addition \zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n 2^{n-1} }
{ =} { \sum_{k = 0}^n k \binom { n } { k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Nullteiler}{}{} und die Nichtnullteiler in
\mathl{\Z/(12 )}{.}

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des \stichwort {nilpotenten} {} Elementes in einem Ring.

Ein Element $a$ eines \definitionsverweis {Ringes}{}{} $R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mathl{a^n=0}{} ist für eine natürliche Zahl $n$.

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.} Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ \Z[ { \frac{ 2 }{ 3 } }] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der von $\Z$ und $2/3$ \definitionsverweis {erzeugte Unterring}{}{} von $\Q$. Zeige, dass $R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von $3$ im Nenner schreiben lassen.

}
{} {}