Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass ein Ring mit der Nullring ist.


Aufgabe

Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe

Formuliere und beweise das allgemeine Distributivitätsgesetz für einen Ring.


Aufgabe

Sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige die folgenden Gleichungen:

und


Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.


Aufgabe *

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

erfüllen.

Man mache sich dies auch für und klar.

Aufgabe *

Es sei eine -elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Aufgabe

Sei ein Ring und eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

eine Ringstruktur.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Nichtnullteiler in . Zeige, dass das Produkt ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe

Sei ein Ring und seien , Unterringe. Zeige, dass dann auch der Durchschnitt ein Unterring von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Formel


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Nullteiler und die Nichtnullteiler in .


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des nilpotenten Elementes in einem Ring.

Ein Element eines Ringes heißt nilpotent, wenn ist für eine natürliche Zahl .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und es seien nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ebenfalls nilpotent ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann, einen Unterring von bildet.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.



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