Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Elementen  $x,y,z,w\in R$,  wobei $z$ und $w$ Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. $\frac{x}{1}=x,$

2. $\frac{1}{x}=x^{-1},$

3. $\frac{1}{-1}=-1,$

4. $\frac{0}{z}=0,$

5. $\frac{z}{z}=1,$

6. $\frac{x}{z}=\frac{xw}{zw},$

7. $\frac{x}{z}\cdot \frac{y}{w}=\frac{xy}{zw},$

8. $\frac{x}{z}+\frac{y}{w}=\frac{xw+yz}{zw}.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

$(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

$\frac{x}{z}+\frac{y}{w}=\frac{x+y}{z+w}$

nicht gilt, außer im Nullring.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $f\in R$.  Charakterisiere mithilfe der Multiplikationsabbildung

${\mu }_f:R⟶R,g⟼fg,$

wann $f$ ein Nichtnullteiler und wann $f$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

$a+(bc)=(a+b)\cdot (a+c),$

nicht gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit  $2\ne 0$.  Zeige, dass für  $f,g\in K$  die Beziehung

$fg=\frac{1}{4}({(f+g)}^2-{(f-g)}^2)$

gilt.

Aufgabe

Zeige für einen Körper $K$ die folgenden Eigenschaften.

a) Für jedes  $a\in K$  ist die Abbildung

${\alpha }_a:K⟶K,x⟼x+a,$

bijektiv.

b) Für jedes $b\in K$, $b\ne 0$, ist die Abbildung

${\mu }_b:K⟶K,x⟼bx,$

bijektiv.

Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge $\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass  $0=1$  ist.

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

1. $(5+4\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})$.
2. $(2+3\mathrm{i})(2-4\mathrm{i})+3(1-\mathrm{i})$.
3. $(2\mathrm{i}+3{)}^2$.
4. ${\mathrm{i}}^{1011}$.
5. $(-2+5\mathrm{i}{)}^{-1}$.
6. $\frac{4-3\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$.

Aufgabe *

Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.

a) $3$.

b) $5\mathrm{i}$.

c) $3+5\mathrm{i}$.

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe

Zeige, dass  $P={ℝ}^2$  mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen.

1. $\{z\in ℂ\mid \mathrm{Re}\left(z\right)\ge -3\}$,
2. $\{z\in ℂ\mid \mathrm{Im}\left(z\right)\le 2\}$,
3. $\{z\in ℂ\mid |z|\le 5\}$.

Aufgabe *

a) Berechne

$(4-7\mathrm{i})(5+3\mathrm{i}).$

b) Bestimme das inverse Element $z^{-1}$ zu

$z=3+4\mathrm{i}.$

c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe *

Löse die lineare Gleichung

$(2+5\mathrm{i})z=(3-7\mathrm{i})$

über $ℂ$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist  $z=\mathrm{Re}\left(z\right)+\mathrm{Im}\left(z\right)\mathrm{i}$. 
2. Es ist  $\mathrm{Re}(z+w)=\mathrm{Re}\left(z\right)+\mathrm{Re}\left(w\right)$. 
3. Es ist  $\mathrm{Im}(z+w)=\mathrm{Im}\left(z\right)+\mathrm{Im}\left(w\right)$. 
4. Für  $r\in ℝ$  ist

   $\mathrm{Re}\left(rz\right)=r\mathrm{Re}\left(z\right)\text{ und }\mathrm{Im}\left(rz\right)=r\mathrm{Im}\left(z\right).$

5. Es ist  $z=\mathrm{Re}\left(z\right)$  genau dann, wenn  $z\in ℝ$  ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn  $\mathrm{Im}\left(z\right)=0$  ist.

Aufgabe *

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

1. Es ist  $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$. 
2. Es ist  $\mathrm{Re}\left(z\right)=\frac{z+\bar{z}}{2}$. 
3. Es ist  $\mathrm{Im}\left(z\right)=\frac{z-\bar{z}}{2\mathrm{i}}$. 
4. Es ist  $\bar{z}=\mathrm{Re}\left(z\right)-\mathrm{i}\mathrm{Im}\left(z\right)$. 
5. Für  $z\ne 0$  ist  $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$. 

Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

1. Es ist  $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$. 
2. Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist  $|z|=0$  genau dann, wenn  $z=0$  ist.

4. $|z|=|\bar{z}|.$

5. $|zw|=|z||w|.$

6. Für  $z\ne 0$  ist  $|1/z|=1/|z|$. 

7. $|\mathrm{Re}\left(z\right)|,|\mathrm{Im}\left(z\right)|\le |z|.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Einheiten von $\mathbb{Z}/(8)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn $R$ ein Körper ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $f\in R$  ein nilpotentes Element. Zeige, dass $1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

$(1+\mathrm{i}{)}^n$

für  $n=1,2,3,4,5$. 

Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

$(4-\mathrm{i})z=(6+5\mathrm{i})$

über $ℂ$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

1. Es ist  $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$. 
2. Es ist  $\overline{-z}=-\bar{z}$. 
3. Es ist  $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$. 
4. Für  $z\ne 0$  ist  $\overline{1/z}=1/\bar{z}$. 
5. Es ist  $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z$. 
6. Es ist  $\bar{z}=z$  genau dann, wenn  $z\in ℝ$  ist.