Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 3

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen , wobei und Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt, außer im Nullring.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein Unterring eines Körpers ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

nicht gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper mit . Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige für einen Körper die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ist die Abbildung

bijektiv.

(2) Für jedes , , ist die Abbildung

bijektiv.


Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.


Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .


Aufgabe

Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.


Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


Aufgabe

Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein Körper ist.


Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe *

a) Berechne

b) Bestimme das inverse Element zu .

c) Welchen Abstand hat aus Teil (b) zum Nullpunkt?


Aufgabe *

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist
  5. genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.


Aufgabe

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Für ist .


Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

  1. Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. .
  4. .
  5. Für ist .
  6. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Einheiten von .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Zeige, dass eine Einheit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

für .


Aufgabe (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

über und berechne den Betrag der Lösung.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist .
  5. .
  6. genau dann, wenn ist.



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