Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 1

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Übungsaufgaben
Bundesarchiv Bild 183-10308-0006, Calbe, DS-Sportschule, Lehrgang für Sportler.jpg


Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?


Aufgabe

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?


Aufgabe

Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung. Ist die Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es ein (eindeutiges) neutrales Element, für welche gibt es ein inverses Element?


Aufgabe

Es sei eine Menge und

Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.


Aufgabe

Sei eine Menge und sei eine Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn ein Linksinverses besitzt, und dass genau dann surjektiv ist, wenn ein Rechtsinverses besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Monoid und .

a) Folgt aus die Beziehung ?

b) Folgt aus die Beziehung ?


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids und eines Elementes derart, dass alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind.


Aufgabe

Es sei ein endliches Monoid. Es gelte die folgende „Kürzungsregel“: aus folgt . Zeige, dass eine Gruppe ist.


Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der Lemma 1.6, dass für gilt:


Aufgabe *

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:


Aufgabe

Es sei eine Gruppe und , , eine Familie von Untergruppen. Zeige, dass der Durchschnitt

eine Untergruppe von ist.


Aufgabe

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

Zeige, dass auf durch

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung.

a) Berechne

b) Finde eine Lösung für die Gleichung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei und betrachte auf

die Verknüpfung

Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge

mit der in Aufgabe 1.17 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Es gebe ein linksneutrales Element (d.h. für alle ) und zu jedem gebe es ein Linksinverses, d.h. ein Element mit . Zeige, dass dann schon eine Gruppe ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?


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