Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ = }{ K(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subset }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} aber keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{,} deren \definitionsverweis {Grad}{}{} eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $M$ die Menge der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $K$. Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $K^{\times}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {komplexe Einheitswurzel}{}{} auf dem Einheitskreis liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass es in $K$
\mathl{p-1}{} verschiedene $(p-1)$-te \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} gibt.

b) Finde für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ = }{ 2,3,5,7,11,13,17,19 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {primitive}{}{}
\mathl{(p-1)}{-}te Einheitswurzeln in $K$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1,b_2 }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei Lösungen der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_2 }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so ist ihr Quotient
\mathl{b_1/b_2}{} eine $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.} } {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das sechste \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} $\Phi_{6}$ und beschreibe die Primfaktorzerlegung von $X^6-1$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Finde die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ X^p -1 } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige folgende Aussagen.

a) Die dritten Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$ sind $1,\, \epsilon= - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$ und $\eta = - { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$.

b) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon^2 }
{ = }{ \eta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \eta^2 }
{ = }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

c) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1+\epsilon + \epsilon^2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

d) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon + \epsilon^2 }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^{n-1} e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} j k }{ n } } } }
{ =} { \begin{cases} n, \text{ falls } j \text{ ein Vielfaches von } n \text{ ist}, \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_n }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ {\mathbb C}[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ {\mathbb C}[X^n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {d.h., dass $F$ als Polynom in $X^n$ geschrieben werden kann} {} {} genau dann gilt, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ \mu_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(zX) }
{ =} {F(X) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{n \in \N}{} ungerade. Zeige, dass der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} mit dem $2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pentagon_construct.gif} }
\end{center}
\bildtext {Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal} }

\bildlizenz { Pentagon construct.gif } {TokyoJunkie} {Mosmas} {en.wikiversity.org} {PD} {}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(23)$.

}
{} {}