Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 27

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Das Delische Problem
Die Bewohner der Insel Delos befragten während einer Pestepidemie 430 v. Chr. das Orakel von Delphi. Sie wurden aufgefordert, den würfelförmigen Altar des Apollon zu verdoppeln.

Wir kommen zur ersten Konsequenz von unserer systematischen Untersuchung der konstruierbaren Zahlen auf die klassischen Konstruktionsprobleme.



Korollar  

Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.

Beweis  

Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge und dem Volumen . Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das Minimalpolynom von ist , da dieses offenbar annulliert und nach Lemma 6.9 irreduzibel ist, da in keine dritte Wurzel aus existiert. Nach Korollar 26.7 ist nicht konstruierbar, da keine Zweierpotenz ist.




Die Quadratur des Kreises



Satz  

Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.

Beweis  

Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Korollar 26.6 muss aber eine konstruierbare Zahl algebraisch sein. Nach dem Satz von Lindemann ist aber und damit auch transzendent.


Es gibt natürlich einige geometrische Methoden die Zahl zu erhalten, z.B. die Abrollmethode und die Schwimmbadmethode.


Beispiel  

Die einfachste Art, die Zahl geometrisch zu konstruieren, ist die Abrollmethode, bei der man einen Kreis mit Durchmesser einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also .


Pi-unrolled-720.gif


Beispiel  

Man kann die Zahl auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten.




Einheitswurzeln

Definition  

Es sei ein Körper und . Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

in die -ten Einheitswurzeln in .

Die ist für jedes eine -te Einheitswurzel, und die ist für jedes gerade eine -te Einheitswurzel. Es gibt maximal -te Einheitswurzel, da das Polynom maximal Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit und ist auch , usw.) der Einheitengruppe des Körpers. Nach einem Satz, den wir nicht bewiesen haben, ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die teilt.


Definition  

Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn eine primitive -te Einheitswurzel ist, so sind genau die  mit und teilerfremd zu die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau primitive Einheitswurzeln, wobei die eulersche -Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.



Lemma  

Sei .

Die Nullstellen des Polynoms über sind

In gilt die Faktorisierung

Beweis  

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms . Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

mit sofort durch betrachten des Quotienten folgt, und daraus

Es gibt also explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.


3rd roots of unity.svg
8th-root-of-unity.jpg




Kreisteilungskörper

Definition  

Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

über .

Offenbar ist eine Nullstelle von . Daher kann man durch teilen und erhält, wie man schnell nachrechen kann,

Wegen ist daher der -te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber auf die Kreisteilungskörper über , die wir auch mit bezeichnen. Da in der oben explizit beschriebenen Weise über in Linearfaktoren zerfällt, kann man als Unterkörper von realisieren, und zwar ist der von allen -ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von . Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt, wofür wir den folgenden Begriff einführen.


Definition  

Eine Körpererweiterung , heißt einfach, wenn es ein Element mit

gibt.



Lemma  

Sei . Dann wird der -te Kreisteilungskörper über

von erzeugt.

Der -te Kreisteilungskörper ist also

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von

Beweis  

Es sei der -te Kreisteilungskörper über . Wegen ist . Wegen gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu , also ist .


Statt kann man auch jede andere -te primitive Einheitswurzel als Erzeuger nehmen. Das Minimalpolynom zu einem Erzeuger von heißt das -te Kreisteilungspolynom. Der Grad des -ten Kreisteilungspolynoms ist der Grad des -ten Kreisteilungskörpers über . Dieser Grad ist stets , was wir aber nicht beweisen werden.


Beispiel  

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine . Bei oder ist der Kreisteilungskörper gleich . Bei ist

und der zweite Faktor zerfällt

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von erzeugte Körper, es ist also eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei ist natürlich

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit , also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von .


Der Beweis der folgenden wichtigen Aussage beruht auf Überlegungen, die wir nicht entwickelt haben.


Lemma  

Sei eine Primzahl.

Dann ist der -te Kreisteilungskörper gleich

Insbesondere besitzt der -te Kreisteilungskörper den Grad über .

Beweis  


Kreis5Teilung.svg

Beispiel  

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl erzeugt. Er hat aufgrund von Lemma 27.8 die Gestalt

wobei die Variable als (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei und setze . Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

Es ist also (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen

Dies zeigt aufgrund von

Satz 26.5, dass die fünften Einheitswurzeln konstruierbare Zahlen sind.



<< | Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)