Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass das Polynom

$X^3-3X-1$

über $\mathbb{Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Bestimme für alle  $n\le 30$,  ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen $100$ und $200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe

Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.

Aufgabe

Welche der Winkel

$10^{\circ },20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ },\dots ,350^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe *

Es sei $n$ eine zu $360$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel $n^{\circ }$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe einen Winkel $a^{\circ }$, $0<a<1$, an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe

Es sei $\beta$ ein Winkel, der durch zwei konstruierbare (Halb)-Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\beta$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Aufgabe *

Es sei  $P\in {ℝ}^2$  und

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

eine Drehung um den Drehpunkt $P$ um den Winkel $\beta$, $0^{\circ }<\beta <360^{\circ }$, mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass $P$ ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel $\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $n\in \mathbb{N}$  eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke $S$ durch zwei Punkte  $P,Q\in E$  gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges $n$-Eck $R$ derart, dass $S$ eine der Kanten von $R$ wird.

Tipp: Aufgabe 25.15 kann helfen.

Aufgabe (4 Punkte)

Welche der Winkel

$1^{\circ },2^{\circ },3^{\circ },4^{\circ },\dots ,10^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?