Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 3/latex

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\setcounter{section}{3}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit Elementen
\mathl{x,y,z,w\in R}{,} wobei $z$ und $w$ \definitionsverweis {Einheiten}{}{} seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln. \aufzaehlungacht{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 1 } } }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ x } } }
{ =} { x^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ -1 } } }
{ =} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 0 }{ z } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ z }{ z } } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } }
{ =} { { \frac{ xw }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } \cdot { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xy }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xw+yz }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-z) \cdot (y-w) }
{ =} { (x+w)(y+z)-(z+w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} Zeige, dass die \anfuehrung{beliebte Formel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} {{ \frac{ x+y }{ z+w } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gilt, außer im Nullring.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Körper}{}{} das \anfuehrung{umgekehrte Distributivgesetz}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+(bc) }
{ =} { (a+b) \cdot (a+c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} nicht gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für
\mathl{f,g \in K}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( { \left( f+g \right) }^2 - { \left( f-g \right) }^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes
\mathl{a \in K}{} ist die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\alpha_a} {K} {K } {x} {x+a } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{.}

(2) Für jedes
\mathbed {b \in K} {}
{b \neq 0} {}
{} {} {} {,} ist die Abbildung \maabbeledisp {\mu_b} {K} {K } {x} {bx } {,} bijektiv.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die einelementige Menge $\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass $0=1$ ist.

}
{} {}

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inversen Elemente}{}{} der folgenden \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungdrei{$3$. }{$5 { \mathrm i}$. }{$3+5 { \mathrm i}$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $P=\R^2$ mit der \definitionsverweis {komponentenweisen}{}{} Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die folgenden Teilmengen. \aufzaehlungdrei{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \geq -3 \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 2 \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 5 \right\} }}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }

b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mathl{z=3+4 { \mathrm i}}{.}

c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z }
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die folgenden Aussagen zu \definitionsverweis {Real}{}{-} und \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungfuenf{$z= \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i}$. }{$\operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) } = \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Re} \, { \left( w \right) }$. }{$\operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) } = \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) }$. }{Für $r \in \R$ ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{$z = \operatorname{Re} \, { \left( z \right) }$ genau dann, wenn $z \in \R$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn $\operatorname{Im} \, { \left( z \right) }=0$ ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} folgende Rechenregeln gelten. \aufzaehlungfuenf{$\betrag { z }= \sqrt{ z \ \overline{ z } }$. }{$\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } = \frac{z+ \overline{ z } }{2}$. }{$\operatorname{Im} \, { \left( z \right) } = \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} }$. }{$\overline{ z }= \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }$. }{Für $z \neq 0$ ist
\mathl{z^{-1}= \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 }}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Regeln für den \definitionsverweis {Betrag}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein. }{Es ist $\betrag { z }=0$ genau dann, wenn $z=0$ ist. }{$\betrag { z }= \betrag { \overline{ z } }$. }{$\betrag { zw } = \betrag { z } \betrag { w }$. }{Für $z \neq 0$ ist $\betrag { 1/z } = 1/ \betrag { z }$. }{$\betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } \leq \betrag { z }$. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von
\mathl{\Z/(8)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} ein \definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.} Zeige, dass $1+f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für $n=1,2,3,4,5$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(4- { \mathrm i}) z }
{ =} {(6+5 { \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} die folgenden Rechenregeln gelten. \aufzaehlungsechs{$\overline{ z+w }= \overline{ z } + \overline{ w }$. }{$\overline{ -z }= - \overline{ z }$. }{$\overline{ z \cdot w }= \overline{ z } \cdot \overline{ w }$. }{Für $z \neq 0$ ist $\overline{ 1/z } =1/\overline{ z }$. }{$\overline{ \overline{ z } } =z$. }{$\overline{ z } =z$ genau dann, wenn
\mathl{z \in \R}{} ist. }

}
{} {}


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