Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Diskutiere, ob es sich bei

$n!,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}),\pi ,e^u,x^y,5^x,\sqrt{x},\mathrm{♡}$

um Terme handelt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass die Multiplikation auf $K[X]$ assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom $1$ neutrales Element der Multiplikation ist.

Aufgabe

Berechne das Produkt

$(2X^3+4X+5)\cdot (X^4+5X^2+6)$

im Polynomring $\mathbb{Z}/(7)[X]$.

Aufgabe

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^2-3X+9\mathrm{i})\cdot ((-3+7\mathrm{i})X^2+(2+2\mathrm{i})X-1+6\mathrm{i}).$

Aufgabe

Beweise die Formel

$X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\cdots +X^2+X+1).$

Aufgabe *

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $R[X]$ der Polynomring über $R$. Zeige, dass die Einheiten von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $S\subseteq R$  ein Unterring. Zeige, dass $S[X]$ ein Unterring von $R[X]$ ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[X]$ der Polynomring über $R$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.

1. $\mathrm{grad}(P+Q)\le max\{\mathrm{grad}(P),\mathrm{grad}(Q)\}$
2. $\mathrm{grad}(P\cdot Q)\le \mathrm{grad}(P)+\mathrm{grad}(Q)$
3. Wenn $R$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^3-5X^2-4X+7$

die Variable $X$ durch die komplexe Zahl $2-5\mathrm{i}$ ersetzt.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $a\in K$.  Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi :K[X]⟶K,P⟼P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien  $P,Q\in K[X]$ ).

1. $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a).$

2. $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a).$

3. $1(a)=1.$

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$X^3+2X^2-3X+4$

in der neuen Variablen  $U=X+2$. 

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$Z^3-(2\mathrm{i})Z^2+3\mathrm{i}Z-(45\mathrm{i})$

in der neuen Variablen  $W=Z+2-\mathrm{i}$. 

Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

$a{x}^2+bx+c=0$

mit $a,b,c\in ℝ$, $a\ne 0$.

In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt $200$ Euro, ein Meter Hecke kostet $30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet $1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2$

mit  $a,b,c\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,f(1)=0,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2+d{X}^3$

mit  $a,b,c,d\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0,f(-1)=1.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2$

mit  $a,b,c\in ℂ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(\mathrm{i})=1,f(1)=1+\mathrm{i},f(1-2\mathrm{i})=-\mathrm{i}.$

Aufgabe

Multipliziere in $\mathbb{Z}/(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^4+2x^2{y}^2-x{y}^3+2y^3\text{ und }{x}^{4}y+4x^{2}y+3x{y}^2-x^2{y}^2+2y^2.$

Aufgabe

Multipliziere in $\mathbb{Z}[x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^5+3x^2{y}^2-xy{z}^3\text{ und }2x^{3}yz+z^2+5x{y}^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe

Beweise die Identität

$(X+Y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})X^k{Y}^{n-k}$

im Polynomring $\mathbb{Z}[X,Y]$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^3-\mathrm{i}{X}^2+2X+3+2\mathrm{i})\cdot ((2-\mathrm{i})X^3+(3-5\mathrm{i})X^2+(2+\mathrm{i})X+1+5\mathrm{i}).$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel

$X^u+1=(X+1)(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^2-X+1)$

für $u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r\in R$ ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in $R[X]$, das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein reelles Polynom $f$ vom Grad $\le 3$, für welches

$f(0)=-1,f(-1)=-3,f(1)=7,f(2)=21$

gilt.

Aufgabe (8 Punkte)

Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\mathbb{N}$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert $P(n_1),P(n_2),\dots ,P(n_r)$ zu gewissen natürlichen Zahlen $n_1,n_2,\dots ,n_r$ ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.