Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 4

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Diskutiere, ob es sich bei

um Terme handelt.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass die Multiplikation auf assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom neutrales Element der Multiplikation ist.


Aufgabe

Berechne das Produkt

im Polynomring .


Aufgabe

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe

Beweise die Formel


Aufgabe *

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. und sei ein Unterring. Zeige, dass ein Unterring von ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.

  1. Wenn ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe *

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .

In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt Euro, ein Meter Hecke kostet Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?


Aufgabe *

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe

Beweise die Identität

im Polynomring .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in , das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.


Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Aufgabe (8 Punkte)

Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist. Dabei darf diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für , die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.



<< | Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)