Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine Darstellung der $1$ \zusatzklammer {im Sinne des Lemmas von Bezout} {} {} für die folgenden Zahlenpaare: \mathkor {} {5} {und} {7} {;} \mathkor {} {20} {und} {27} {;} \mathkor {} {23} {und} {157} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Wasserspedition \anfuehrung{Alles im Eimer}{} verfügt über einen $7$- und einen $10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{,} deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen \mathkor {} {n} {und} {a} {} seien \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $r$ und $s$
\definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.}
Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ = }{ v(s,-r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {a} {und} {d} {}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ \neq} { 2,5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form
\zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {}
\mathdisp {111 \ldots 111} { }
gibt, die ein
\definitionsverweis {Vielfaches}{}{}
von $p$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
$R$ zu beliebigen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sowohl ein
\definitionsverweis {größter gemeinsame Teiler}{}{}
als auch ein
\definitionsverweis {kleinstes gemeinsames Vielfaches}{}{}
existieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei
\definitionsverweis {irreduzible}{}{,}
nicht
\definitionsverweis {assoziierte}{}{}
Elemente in einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte den
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ]
}
{ \subset} { K[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Elemente
\mathkor {} {X^2} {und} {X^3} {}
kein
\definitionsverweis {kleinstes gemeinsames Vielfaches}{}{}
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte den
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ]
}
{ \subset} { K[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Elemente
\mathkor {} {X^2} {und} {X^3} {}
ein
\definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{}
existiert, dieser aber nicht als Linearkombination daraus darstellbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12733$ und $3983$. Man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {} {12733} {und} {3983} {} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Q[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^3+2X^2+5X+2} {und} {Q= X^2+4X-3} {.}
}
{} {}
Statt
\mathl{\Z/(p)}{} für eine Primzahl $p$ schreiben wir gelegentlich auch
\mathl{{\mathbb F}_p}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_3[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P= X^3+2X^2+X+2} {und} {Q= 2X^2+1} {.}
}
{Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Z[{ \mathrm i}]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{5+2{ \mathrm i}}{} und
\mathl{3+7{ \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Z[X]$ und der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine
\definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Die Wasserspedition \anfuehrung{Alles im Eimer}{} verfügt über $77$-, $91$- und $143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Zeige, dass $a$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn das
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mathl{(a)}{} unter allen vom
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
verschiedenen Hauptidealen maximal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme in ${\mathbb C}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {X^3+ (2- { \mathrm i} )X^2+ 4} {und} {(3- { \mathrm i})X^2+5 X -3} {.}
}
{Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_5[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome \mathkor {} {P=X^4+3 X^3+ X^2+4X+2} {und} {Q=2X^3+4 X^2+ X+3} {.}
}
{Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{.}
Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Ideal
\zusatzklammer {in $S$} {} {.}
}{Zu einem
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Radikal.
}{Zu einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein Primideal.
}{Zu einem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mathl{{\mathfrak a} \cap S}{} ein maximales Ideal.
}
}
{} {}