Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 8

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde eine Darstellung der ${}1$  (im Sinne des Lemmas von Bezout) für die folgenden Zahlenpaare: ${}5$ und ${}7$; ${}20$ und ${}27$; ${}23$ und ${}157$.

Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen ${}7$- und einen ${}10$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?

Aufgabe

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen, deren Produkt ${}ab$ von einer natürlichen Zahl ${}n$ geteilt werde. Die Zahlen ${}n$ und ${}a$ seien teilerfremd. Zeige, dass ${}b$ von ${}n$ geteilt wird.

Aufgabe

Es seien ${}r$ und ${}s$ teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung ${}(x,y)$ der Gleichung

${}rx+sy=0\,$

die Gestalt ${}(x,y)=v(s,-r)$ mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${}v$ besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}a$ und ${}d$ teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz ${}a^{i}$ mit ${}i\geq 1$ gibt, deren Rest bei Division durch ${}d$ gleich ${}1$ ist.

Aufgabe

Es sei

${}p\neq 2,5\,$

eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)

$111\ldots 111$

gibt, die ein Vielfaches von ${}p$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ${}R$ zu beliebigen Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ sowohl ein größter gemeinsame Teiler als auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existieren.

Aufgabe

Es seien ${}a,b\in R$ zwei irreduzible, nicht assoziierte Elemente in einem Integritätsbereich. Zeige, dass ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Betrachte den Unterring

${}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$

Zeige, dass für die Elemente ${}X^{2}$ und ${}X^{3}$ kein kleinstes gemeinsames Vielfaches existiert.

Aufgabe

Betrachte den Unterring

${}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$

Zeige, dass für die Elemente ${}X^{2}$ und ${}X^{3}$ ein größter gemeinsamer Teiler existiert, dieser aber nicht als Linearkombination daraus darstellbar ist.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$.

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}12733$ und ${}3983$. Man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}12733$ und ${}3983$ an.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+2X^{2}+5X+2$ und ${}Q=X^{2}+4X-3$.

Statt ${}\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl ${}p$ schreiben wir gelegentlich auch ${}{\mathbb {F} }_{p}$.

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{3}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+2X^{2}+X+2$ und ${}Q=2X^{2}+1$.

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5+2{\mathrm {i} }$ und ${}3+7{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]$ und der Polynomring in zwei Variablen ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ keine Hauptidealbereiche sind.

Aufgabe *

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${}24$ Stunden, ${}60$ Minuten und ${}60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${}11$ Stunden, ${}11$ Minuten und ${}11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

Aufgabe (3 Punkte)

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über ${}77$-, ${}91$- und ${}143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}a\in R$ ein Element. Zeige, dass ${}a$ genau dann irreduzibel ist, wenn das Hauptideal ${}(a)$ unter allen vom Einheitsideal verschiedenen Hauptidealen maximal ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {C} }[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4$ und ${}(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3$.

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und ${}Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$.

Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Ideal (in ${}S$).
2. Zu einem Radikal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Radikal.
3. Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Primideal.
4. Zu einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein maximales Ideal.