Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Vektorräume}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Vector_Addition.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Addition von zwei Pfeilen $a$ und $b$, ein typisches Beispiel für Vektoren.} }
\bildlizenz { Vector_Addition.svg } {} {Booyabazooka} {Commons} {PD} {}
Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit zwei Abbildungen
\maabbeledisp {+} {V \times V} {V
} {(u,v)} {u+v
} {,}
und
\maabbeledisp {\cdot} {K \times V } {V
} {(s,v) } {s v = s \cdot v
} {.}
Dann nennt man $V$ einen
\definitionswortpraemath {K}{ Vektorraum }{}
\zusatzklammer {oder einen Vektorraum über $K$} {} {,}
wenn die folgenden Axiome erfüllt sind\zusatzfussnote {Die ersten vier Axiome, die unabhängig von $K$ sind, bedeuten, dass $(V,0,+)$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist} {.} {}
\zusatzklammer {dabei seien
\mathkor {} {r,s \in K} {und} {u,v,w \in V} {} beliebig} {} {}
\zusatzfussnote {Auch für Vektorräume gilt die \stichwort {Klammerkonvention} {,} dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung} {.} {}
\aufzaehlungacht{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u+v
}
{ = }{v+u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(u+v)+w
}
{ = }{ u +(v+w)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v+0
}
{ = }{v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v+z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 \cdot u
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(su)
}
{ = }{ (rs) u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(u+v)
}
{ = }{ru + rv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r+s) u
}
{ = }{ru + su
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Die Verknüpfung in $V$ nennt man
\zusatzklammer {Vektor} {} {-}Addition und die Operation
\maabb {} { K \times V } { V
} {}
nennt man \stichwort {Skalarmultiplikation} {.} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man \stichwort {Vektoren} {,} und die Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \stichwort {Skalare} {.} Das Nullelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird auch als \stichwort {Nullvektor} {} bezeichnet, und zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt das inverse Element das \stichwort {Negative} {} zu $v$ und wird mit $-v$ bezeichnet. Wie in Ringen gilt wieder \stichwort {Punktrechnung vor Strichrechnung} {,} d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition.
Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den \stichwort {Grundkörper} {.} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man von \stichwort {reellen Vektorräumen} {} und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von \stichwort {komplexen Vektorräumen} {.} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Vector_space_illust.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Vector space illust.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K^n
}
{ =} { \underbrace{K \times \cdots \times K }_{n\text{-mal} }
}
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_{ n }) \mid x_i \in K \right\} }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
mit der komponentenweisen Addition und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s (x_1 , \ldots , x_{ n })
}
{ =} { (s x_1 , \ldots , s x_{ n })
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten Skalarmultiplikation ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Man nennt ihn den $n$-di\-mensionalen \stichwort {Standardraum} {.} Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K^1
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst ein Vektorraum.
}
Der Nullraum $0$, der aus dem einzigen Element $0$ besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auffassen.
Die Vektoren im Standardraum $K^n$ kann man als Zeilenvektoren
\mathdisp {\left( a_1 , \, a_2 , \, \ldots , \, a_n \right)} { }
oder als Spaltenvektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ \vdots\\a_n \end{pmatrix}} { }
schreiben. Der Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots\\ 0\\1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $1$ an der $i$-ten Stelle steht, heißt $i$-ter \stichwort {Standardvektor} {.}
{{{zusatz1}}}
\inputbeispiel{
}
{
Die
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$ bilden einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und daher bilden sie einen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über sich selbst. Andererseits sind die komplexen Zahlen als additive Struktur gleich $\R^2$. Die Multiplikation einer komplexen Zahl
\mathl{a+b { \mathrm i}}{} mit einer reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ (s,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
geschieht komponentenweise, d.h. diese Multiplikation stimmt mit der skalaren Multiplikation auf $\R^2$ überein. Daher sind die komplexen Zahlen auch ein reeller Vektorraum. Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass ${\mathbb C}$ ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass ${\mathbb C}$ ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und gegebenen natürlichen Zahlen
\mathl{m,n}{} bildet die Menge
\mathdisp {\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)} { }
der
\mathl{m \times n}{-}Matrizen mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Das Nullelement in diesem Vektorraum ist die \stichwort {Nullmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in einer Variablen über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, der aus sämtlichen Polynomen, also Ausdrücken der Form
\mathdisp {a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_2X^2+a_1X+a_0} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht. Mit
\zusatzklammer {komponentenweiser} {} {}
Addition und der ebenfalls komponentenweisen Multiplikation mit einem Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {was man auch als die Multiplikation mit dem konstanten Polynom $s$ auffassen kann} {} {}
ist der Polynomring ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{}
in den
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}
Mit der reellen Addition und mit der Multiplikation von rationalen Zahlen mit reellen Zahlen ist $\R$ ein
$\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
wie direkt aus den
\definitionsverweis {Körperaxiomen}{}{}
folgt. Dies ist ein ziemlich unübersichtlicher Vektorraum.
}
{Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Eigenschaften
\zusatzklammer {dabei sei
\mathkor {} {v \in V} {und} {s \in K} {}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\zusatzfussnote {Man mache sich hier und im Folgenden klar, wann die $0$ in $K$ und wann sie in $V$ zu verstehen ist} {.} {}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1) v
}
{ = }{ -v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 19.6. }
\zwischenueberschrift{Untervektorräume}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Untervektorraum}{,} wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u+v
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe Aufgabe 19.4. Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum $V$ sind der Nullraum $0$ und der gesamte Vektorraum $V$.
{Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$
\zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 19.3. }
Man spricht daher auch vom \stichwort {Lösungsraum} {} des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems.