Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Ideale}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge ${\mathfrak a}$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Ideal}{,} wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
Die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man durch die Bedingung ersetzen, dass ${\mathfrak a}$ nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von $R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Familie von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1, a_2 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ bezeichnet
\mathl{(a_1, a_2 , \ldots , a_n)}{} das von diesen Elementen \definitionswort {erzeugte Ideal}{.} Es besteht aus allen \definitionswort {Linearkombinationen}{}
\mathdisp {r_1 a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n} { , }
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_1, r_2 , \ldots , r_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ =} {(a)
}
{ =} {Ra
}
{ =} {\{ra:\, r \in R\}
}
{ } {}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Hauptideal}{.}
}
Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte \stichwort {Nullideal} {,} was wir einfach als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ = }{ (0)
}
{ = }{ \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Die $1$ und überhaupt jede
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.
\inputdefinition
{}
{
Das \definitionswort {Einheitsideal}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ist der Ring selbst.
}
In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.
\inputfaktbeweis
{Körper/Genau zwei Ideale/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungzwei { $R$ ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
} {Es gibt in $R$ genau zwei
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xx^{-1}
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ Rx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Das bedeutet also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xr
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass $x$ eine Einheit ist.
\zwischenueberschrift{Operationen für Ideale}
Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal
\zusatzklammer {der Durchschnitt von Hauptidealen ist im Allgemeinen kein Hauptideal} {} {.}
Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für Ideale, die zu neuen Idealen führen.
\inputdefinition
{}
{
Zu
\definitionsverweis {Idealen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}, {\mathfrak b} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ nennt man das Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} + {\mathfrak b}
}
{ =} { { \left\{ a+b \mid a \in {\mathfrak a} , \, b \in {\mathfrak b} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \stichwort {Summe der Ideale} {.}
}
Die Summe ist wieder ein Ideal. Ein endlich erzeugtes Ideal ist die Summe von Hauptidealen, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ =} { (a_1) + \cdots + (a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Zu zwei
\definitionsverweis {Idealen}{}{}
${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
wird das
\definitionswort {Produkt}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}{\mathfrak b}
}
{ =} { { \left\{ a_1b_1 +a_2b_2 + \cdots + a_kb_k \mid a_i \in {\mathfrak a} , \, b_i \in {\mathfrak b} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}
Das Idealprodukt ist das Ideal, das von allen Produkten $ab$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird. Die Menge aller Produkte
\mathl{{ \left\{ ab \mid a \in {\mathfrak a} , \, b \in {\mathfrak b} \right\} }}{} ist im Allgemeinen kein Ideal. Für Hauptideale ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a) \cdot (b)
}
{ = }{(a \cdot b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {aber
\betonung{nicht}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a) + (b)
}
{ = }{(a + b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Wenn das Produkt eines Ideals mit sich selbst genommen wird, verwendet man die Potenzschreibweise, d.h.
\mathl{{\mathfrak a}^n}{} bedeutet das $n$-fache Produkt des Ideals mit sich selbst. In
\mathl{K[X,Y]}{} ist beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X,Y)^2
}
{ =} { (X^2, XY, Y^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Ideale und Teilbarkeitsbeziehungen}
Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.
{Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeit/Hauptidealcharakterisierung und Einheiten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{a,b \in R}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Das Element $a$ ist ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $b$ (also
\mathl{a {{|}} b}{),} genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.}
}{$a$ ist eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.}
}{Jede Einheit teilt jedes Element.
}{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.6. }
\inputfaktbeweis
{Teilbarkeitstheorie/Gemeinsame Teiler/Idealcharakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{(a_1 , \ldots , a_k )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das davon
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{.}
Ein Element
\mathl{t \in R}{} ist ein
\definitionsverweis {gemeinsamer Teiler}{}{}
von
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} genau dann, wenn
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (t)}{} ist, und $t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes
\mathl{s \in R}{} mit
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (s)}{} folgt, dass
\mathl{(t) \subseteq (s)}{} ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${\mathfrak a}$.
}
{
Aus
\mathl{{\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k ) \subseteq (t)}{} folgt sofort
\mathl{(a_i) \subseteq (t)}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , k}{,} was gerade bedeutet, dass $t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist
\mathl{a_i \in (t)}{} und da
\mathl{{\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k )}{} das kleinste Ideal ist, das alle $a_i$ enthält, muss
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq (t)}{} gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.
{Teilbarkeitstheorie/Kleinstes Gemeinsames Vielfaches/Idealcharakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ = }{(a_1) \cap \ldots \cap (a_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element
\mathl{r \in R}{} ist ein
\definitionsverweis {gemeinsames Vielfaches}{}{}
von
\mathl{a_1 , \ldots , a_k \in R}{} genau dann, wenn
\mathl{(r) \subseteq {\mathfrak b}}{} ist, und $r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes
\mathl{s \in R}{} mit
\mathl{(s) \subseteq {\mathfrak b}}{} folgt, dass
\mathl{(s) \subseteq (r)}{} ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${\mathfrak b}$.
{ Siehe Aufgabe 7.7. }
\zwischenueberschrift{Das Radikal}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Radikal}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Radikalideal}{}} {} {,}
wenn folgendes gilt: Falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{ }
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Dann nennt man die Menge
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \text{es gibt ein } r \text{ mit } f^r \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
das \definitionswort {Radikal}{} zu ${\mathfrak a}$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{rad} \,({\mathfrak a})}{} bezeichnet.
}
Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.
\inputfaktbeweis
{Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/ist ein Ideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
zu ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikalideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. $0$ gehört offenbar zum Radikal und mit
\mathl{f \in \operatorname{rad} \, (\mathfrak a )}{,} sagen wir
\mathl{f^r \in \mathfrak a}{,} ist auch
\mathl{(af)^r=a^rf^r \in \mathfrak a}{,} also gehört $af$ zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien
\mathl{f,g \in \operatorname{rad} \, \mathfrak a}{} mit
\mathl{f^r \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{g^s \in \mathfrak a}{.} Dann ist
\mathdisp {(f+g)^{r+s}= \sum_{i+j=r+s} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j}
\mathdisplaybruch= \sum_{i+j=r+s,\, i <r } \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j}
\mathdisplaybruch +\sum_{i+j=r+s,\, i \geq r} \binom{r+s}{i} f^{i}g^{j} \in \mathfrak a \, .} { }
Es sei nun
\mathl{f^k \in \operatorname{rad}\, (\mathfrak a)}{.} Dann ist
\mathl{(f^k)^r =f^{kr} \in \mathfrak a}{,} also
\mathl{f \in \operatorname{rad} \, (\mathfrak a)}{.}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak p}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Primideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r \cdot s
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Dann ist $p$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{,}
wenn das von $p$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mathl{(p)}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
{ Siehe Aufgabe 7.15. }
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {maximales Ideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
}
{Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 7.21. }