Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 7

Ideale

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}0\in {\mathfrak {a}}$. 
2. Für alle  ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$  ist auch  ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$. 
3. Für alle  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}r\in R$  ist auch  ${}ra\in {\mathfrak {a}}$. 

Die Eigenschaft  ${}0\in {\mathfrak {a}}$  kann man durch die Bedingung ersetzen, dass ${}{\mathfrak {a}}$ nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von ${}R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Definition

Zu einer Familie von Elementen  ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$  in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen

$r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},$

wobei  ${}r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$  sind.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte Nullideal, was wir einfach als  ${}0=(0)=\{0\}$  schreiben. Die ${}1$ und überhaupt jede Einheit erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.

Definition

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ${}R$ ist der Ring selbst.

In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Körper.
2. Es gibt in ${}R$ genau zwei Ideale.

Beweis

Wenn ${}R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}I$ ein Element  ${}x\neq 0$,  das eine Einheit ist. Damit ist  ${}1=xx^{-1}\in I$  und damit  ${}I=R$. 

Es sei umgekehrt ${}R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann ${}R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun ${}x$ ein von ${}0$ verschiedenes Element in ${}R$. Das von ${}x$ erzeugte Hauptideal ${}Rx$ ist ${}\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass  ${}1\in Rx$  ist. Das bedeutet also  ${}1=xr$  für ein  ${}r\in R$,  sodass ${}x$ eine Einheit ist.

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Operationen für Ideale

Der Durchschnitt von Idealen ist wieder ein Ideal (der Durchschnitt von Hauptidealen ist im Allgemeinen kein Hauptideal). Daneben gibt es noch zwei weitere Operationen für Ideale, die zu neuen Idealen führen.

Definition

Zu Idealen  ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$  in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man das Ideal

${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\left\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

die Summe der Ideale.

Die Summe ist wieder ein Ideal. Ein endlich erzeugtes Ideal ist die Summe von Hauptidealen, nämlich

${}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(a_{1})+\cdots +(a_{n})\,.$

Definition

Zu zwei Idealen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\left\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{k}b_{k}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}},\,b_{i}\in {\mathfrak {b}}\right\}}\,$

definiert.

Das Idealprodukt ist das Ideal, das von allen Produkten ${}ab$ mit  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}b\in {\mathfrak {b}}$ 

erzeugt wird. Die Menge aller Produkte ${}{\left\{ab\mid a\in {\mathfrak {a}},\,b\in {\mathfrak {b}}\right\}}$ ist im Allgemeinen kein Ideal. Für Hauptideale ist  ${}(a)\cdot (b)=(a\cdot b)$  (aber nicht  ${}(a)+(b)=(a+b)$ ).

Wenn das Produkt eines Ideals mit sich selbst genommen wird, verwendet man die Potenzschreibweise, d.h.${}{\mathfrak {a}}^{n}$ bedeutet das ${}n$-fache Produkt des Ideals mit sich selbst. In ${}K[X,Y]$ ist beispielsweise

${}(X,Y)^{2}=(X^{2},XY,Y^{2})\,.$

Ideale und Teilbarkeitsbeziehungen

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}a,b\in R$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn  ${}(b)\subseteq (a)$. 
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn  ${}(a)=R=(1)$. 
3. Jede Einheit teilt jedes Element.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.6.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das davon erzeugte Ideal.

Ein Element  ${}t\in R$  ist ein gemeinsamer Teiler von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann, wenn  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  ist,

und ${}t$ ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes  ${}s\in R$  mit  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (s)$  folgt, dass  ${}(t)\subseteq (s)$  ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von ${}{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Aus  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})\subseteq (t)$  folgt sofort  ${}(a_{i})\subseteq (t)$  für  ${}i=1,\ldots ,k$,  was gerade bedeutet, dass ${}t$ diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt ${}t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist  ${}a_{i}\in (t)$  und da  ${}{\mathfrak {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})$  das kleinste Ideal ist, das alle ${}a_{i}$ enthält, muss  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq (t)$  gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  und  ${}{\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap \ldots \cap (a_{k})$  der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale. Ein Element  ${}r\in R$  ist ein gemeinsames Vielfaches von  ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$  genau dann, wenn  ${}(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$  ist, und ${}r$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches genau dann, wenn für jedes  ${}s\in R$  mit  ${}(s)\subseteq {\mathfrak {b}}$  folgt, dass  ${}(s)\subseteq (r)$  ist. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches erzeugt also ein maximales Hauptdeal innerhalb von ${}{\mathfrak {b}}$.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.7.

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Das Radikal

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls  ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$  ist für ein  ${}n\in \mathbb {N}$,  so ist bereits  ${}f\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Dann nennt man die Menge

${\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$

das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$. Es wird mit ${}\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ bezeichnet.

Das Radikal zu einem Ideal ist selbst ein Radikal und insbesondere ein Ideal.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal.

Dann ist das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikalideal.

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. ${}0$ gehört offenbar zum Radikal und mit  ${}f\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$,  sagen wir  ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$,  ist auch  ${}(af)^{r}=a^{r}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$,  also gehört ${}af$ zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien  ${}f,g\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$  mit  ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}g^{s}\in {\mathfrak {a}}$.  Dann ist

${}(f+g)^{r+s}=\sum _{i+j=r+s}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}=\sum _{i+j=r+s,\,i<r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}+\sum _{i+j=r+s,\,i\geq r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}\in {\mathfrak {a}}\,.$

Es sei nun  ${}f^{k}\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$.  Dann ist  ${}(f^{k})^{r}=f^{kr}\in {\mathfrak {a}}$,  also  ${}f\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$. 

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Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn  ${}{\mathfrak {p}}\neq R$  ist und wenn für  ${}r,s\in R$  mit  ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$  folgt:  ${}r\in {\mathfrak {p}}$  oder  ${}s\in {\mathfrak {p}}$. 

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$.

Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Hauptideal ${}(p)$ ein Primideal ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.15.

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Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn  ${}{\mathfrak {m}}\neq R$  ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ kein weiteres Ideal gibt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

Beweis

Siehe Aufgabe 7.22.

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