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Kurs:Elliptische Kurven/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 10 0 0 0 7 0 0 0 0 3 5 0 0 2 0 33




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper .
  2. Die Glattheit einer ebenen projektiven Kurve zu einem homogenen Polynom .
  3. Eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform.
  4. Die Streckungsäquivalenz von Gittern .
  5. Die Standardbetragsmenge von .
  6. Additive Reduktion einer elliptischen Kurve mit modulo einer Primzahl .



Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Struktur des Quotientenraumes zu einem Gitter .
  2. Der schwache Satz von Mordell-Weil.
  3. Die Zeta-Funktion einer elliptischen Kurve über dem endlichen Körper .



Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (7 (1+1+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die elliptische Kurve , die durch die affine Gleichung

gegeben ist.

  1. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung für .
  2. Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung für .
  3. Parametrisiere den oberen Bogen von als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
  4. Bestimme die Koordinaten der Punkte von , wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
  5. Beschreibe eine endliche Körpererweiterung derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu gehören.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe drei elliptische Kurven über , für die die -Torsionsgruppen wesentlich verschieden sind.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Gitter und

der zugehörige komplexe Torus, aufgefasst als elliptische Kurve. Beschreibe, inwiefern das Gitter mit den Tate-Moduln ( Primzahl) zusammenhängt.



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe (0 Punkte)



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Gitter. Zeige direkt, dass

ein Unterring von ist.



Aufgabe (0 Punkte)