Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise für Untergitter in $\R$ die analogen Resultate zu Lemma 10.2, Lemma 10.3 und Lemma 10.4.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \Z u + \Z v
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter
}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma'
}
{ = }{ \Z (mu) + \Z (nv)
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den Kern
\zusatzklammer {mit Anzahl} {} {}
der
\definitionsverweis {Isogenie}{}{}
\maabb {} { {\mathbb C}/ \Gamma' } { {\mathbb C} /\Gamma
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \Z u + \Z v
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter
}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma'
}
{ = }{ \langle au +bv, cu+dv \rangle
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untergitter}{}{.}
Zeige, dass die Anzahl von
\mathl{\Gamma/\Gamma'}{} gleich dem Betrag der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die topologische Gestalt der
\definitionsverweis {Überlagerungen}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb C}/\Gamma_1 \cong S^1 \times S^1 } { {\mathbb C}/\Gamma_2 \cong S^1 \times S^1
} {}
zu einem Untergitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1
}
{ \subseteq }{ \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere auf einem Torus die Punkte, die unter der zum Untergitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3 \Z + 5 \Z { \mathrm i}
}
{ \subseteq }{ \Z +\Z { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehörenden Abbildung
\maabbdisp {} { {\mathbb C}/(3 \Z + 5 \Z { \mathrm i} ) } { {\mathbb C}/( \Z + \Z { \mathrm i} )
} {}
auf den Nullpunkt abgebildet werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Isogenie}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf den \definitionsverweis {komplexen Tori}{}{} über ${\mathbb C}$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s \Gamma
}
{ \subseteq }{\Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \cong }{ \Z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Identifizierung und $M$ die beschreibende Matrix der Abbildung
\maabbdisp {s} { \Gamma} { \Gamma
} {}
unter dieser Identifizierung. Es sei
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}/\Gamma } { {\mathbb C}/\Gamma
} { [z]} { [sz]
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Isogenie}{}{.}
Zeige, dass die Anzahl des Kernes von $\varphi$ mit der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von $M$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige direkt, dass
\mathdisp {{ \left\{ s \in {\mathbb C} \mid s \Gamma \subseteq \Gamma \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von
\mathl{{\mathbb C}/(\Z + \Z { \mathrm i})}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von
\mathl{{\mathbb C}/ ( \Z + \Z { \frac{ - 1 + \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } } )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass innerhalb der Menge aller \definitionsverweis {komplexen Tori}{}{} die Teilmenge derjenigen Tori, deren \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} größer als $\Z$ ist, \anfuehrung{dünn}{} ist.
}
{} {}