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Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 10

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Aufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise für Untergitter in die analogen Resultate zu Lemma 10.2, Lemma 10.3 und Lemma 10.4.


Aufgabe

Es sei ein Gitter und sei mit . Bestimme den Kern (mit Anzahl) der Isogenie .


Aufgabe

Es sei ein Gitter und sei ein Untergitter. Zeige, dass die Anzahl von gleich dem Betrag der Determinante von ist.


Aufgabe

Bestimme die topologische Gestalt der Überlagerungen

zu einem Untergitter .


Aufgabe

Skizziere auf einem Torus die Punkte, die unter der zum Untergitter gehörenden Abbildung

auf den Nullpunkt abgebildet werden.


Aufgabe

Zeige, dass durch die Isogenie eine Äquivalenzrelation auf den komplexen Tori über gegeben ist.


Aufgabe *

Es sei ein Gitter, , , mit . Es sei eine Identifizierung und die beschreibende Matrix der Abbildung

unter dieser Identifizierung. Es sei

die zugehörige Isogenie. Zeige, dass die Anzahl des Kernes von mit der Determinante von übereinstimmt.


Aufgabe *

Es sei ein Gitter. Zeige direkt, dass

ein Unterring von ist.


Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe von .


Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe von .


Aufgabe

Zeige, dass innerhalb der Menge aller komplexen Tori die Teilmenge derjenigen Tori, deren Endomorphismenring größer als ist, „dünn“ ist.



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