Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre

Einleitung

In diesem Kapitel werden einige Standardergebnisse aus der Mengenlehre gesammelt, die in der weitern Abfolge der Vorlesungsinhalte verwendet werden sollen. Insbesondere wird das Hahn-Banach-Theorem, das eigentlich bereits ein Ergebnis aus der linearen Algebra ist, eingeführt. Die Beweise für diese Theoreme finden Sie in den Büchern/Wikibooks zur Topologie und Lineare Algebra.

Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge $X=\bigcup _{i\in I}\{S_{i}\}$ von nichtleeren Mengen $S_{i}$ eine Auswahlfunktion existiert, die aus jedem $S_{i}$ also ein Element $s_{i}\in S_{i}$ zuordnet. Eine Auswahlfunktion ist also eine Funktion, die aus jeder dieser nichtleeren Mengen $S_{i}$ ein Element $s_{i}\in S_{i}\subseteq Y:=\bigcup _{i\in I}S_{i}$ auswählt.

F:X\rightarrow Y

mit

F(S_{i})=s_{i}\in S_{i}

mit

Y:=\bigcup _{i\in I}S_{i}

.

Definitions- und Wertebereich

Bitte beachten Sie, dass die beiden folgenden Mengen unterschiedlich sind:

(M1) $X=\displaystyle \bigcup _{i\in I}\,\{S_{i}\}$ .
(M2) $Y=\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}$ .

Beispiel Definitions- und Wertebereich

Mit den Beispielmengen $S_{1}:=\{K,Z\}$ , $S_{2}:=\{1,2,3,4,5,6\}$ , $S_{3}:=\{1,2,...,32\}$ gilt:

(M1) $X=\displaystyle \bigcup _{i\in I}\,\{S_{i}\}=\{S_{1},S_{2},S_{3}\}$ , d.h. $X$ ist eine Menge von Mengen, die 3 Elemente enthält.
(M2) $Y=\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=\{K,Z,1,....,32\}$ , $Y$ ist eine Vereinigungsmenge, die 34 Elemente enthält.

Endliche Mengen

Für endliche Mengen kann man die Eigenschaft aus anderen Axiomen folgern. Daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.

Definition: Auswahlfunktion

Sei $X$ eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt $F$ eine Auswahlfunktion für $S$ , falls $F$ jedem Element $S$ von $X$ ein Element von $S$ zuordnet, das heißt $F$ hat den Definitionsbereich $X$ und es gilt:

\forall S\in X:F(S)\in S.

$F$ wählt also aus jeder Menge $S$ in $X$ genau ein Element aus.

Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom lautet dann:

Für jede Menge

X

von nichtleeren Mengen gibt es eine Auswahlfunktion

F

.

Beispiel:

Sei $X=\{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}$ . Die auf $X$ durch

F(\{0,2\})=2;\quad F(\{1,2,5,7\})=2;\quad F(\{4\})=4

definierte Funktion $F$ ist eine Auswahlfunktion für $X$ .

Darstellung der Auswahl als Element im Produktraum

In der Vorlesung wird auch der Vektorraum der Folgen angesprochen. Der Produktraum ist eine Möglichkeit, das Auswahlergebnis darzustellen. Mit $F(\{0,2\})=2;\quad F(\{1,2,5,7\})=2;\quad F(\{4\})=4$ und der Indexmenge $I=\{1,2,3\}$ kann man mit dem Auswahlaxiom das Auswahlergebnis in der folgende Schreibweise notieren:

(s_{1},s_{2},s_{3})=(2,2,4)\in \displaystyle \prod _{k\in I}S_{k}=S_{1}\times S_{2}\times S_{3}

Alternative Formulierungen

Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904).
Sei $X$ eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen $X_{i}$ . Dann gibt es eine Menge $C$ , die mit jedem $X_{i}$ genau ein gemeinsames Element hat (Zermelo 1907, ZF).
Sei $I$ eine beliebige Indexmenge und $(S_{i})_{i\in I}$ eine Familie von nichtleeren Mengen $S_{i}$ , dann existiert eine Funktion $F$ mit Definitionsbereich $I$ , die jedem Index $i\in I$ ein Element von $S_{i}$ zuordnet: $F(i)\in S_{i}$ .

Existenz der Auswahlfunktion ohne Axiom

Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne die Festsetzung, dass das Auswahlaxiom gilt:

Für eine endliche Menge $X=\{S_{1},\ldots ,S_{n}\}$ von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Menge verwenden.
Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt.
Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt (oder die untere Intervallgrenze) aus.

Existenz der Auswahlfunktion mit Axiom

Für die folgenden Fälle muss das Auswahlaxiom heranziehen, um die Existenz einer Auswahlfunktion zu erhalten:

Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in ZF (nicht ZFC, d.h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion $F$ beweisen.
Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nicht leeren Teilmengen der reellen Zahlen.

Dies führt zu der Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken.

Lemma von Zorn

Sei $\left(X,\prec \right)$ eine partiell geordnete Menge bei der jede Kette, $T\subset X$ , die linear bzgl. $\prec$ geordnet ist, ein maximales Element $t\in T$ besitzt. Dann gibt es in $\left(X,\prec \right)$ ein maximales Element, $x\in X$ . Das heißt, dass für jedes Element $y\in X$ die Bedingung $x\not \prec y$ gilt.

Vektorraum

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper und $V=(V,+)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt $V$ einen $\mathbb {K}$ -Vektorraum, wenn eine Abbildung

\cdot :\mathbb {K} \times V\rightarrow V

mit

(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v

,

definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt $\lambda ,\mu \in \mathbb {K}$ und $v,w\in V$ beliebig .

(ES) $1\cdot v=v$ (Einselement skalare Multiplikation)
(AS) $\lambda \cdot (\mu \cdot v)=(\lambda \cdot \mu )\cdot v.$ (assoziative Multiplikation mit Skalaren)
(DV) $\lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w.$ (Vektoren distributiv)
(DS) $(\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v.$ (Skalare distributiv)

Aufgabe

Betrachten Sie den Funktionenraum ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von einem Intervall $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ . Definieren Sie eine partielle Ordnung auf ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ .
Definieren Sie eine skalare Multiplikation und eine additive innere Verknüpfung auf dem Vektorraum $V:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ ! Gibt es alternative Definitionen für innere $\oplus$ und äußere Verknüpfungen $\odot$ auf $V$ für die die obigen Eigenschaften der Addition und die Multiplikation mit Skalaren auf $V$ erfüllt sind?
Wie kann man mit einem Integral einen Abstand zwischen zwei stetigen Funktionen auf $V$ definieren? (Vorbereitung zur Topologisierung eines Funktionenraumes)

Siehe auch

Literatur

Thomas Jech: The Axiom of Choice. North Holland, 1973, ISBN 0-7204-2275-2.
Ernst Zermelo: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. In: Mathematische Annalen 59, 1904, S. 514–516.
Ernst Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. In: Mathematische Annalen 65, 1908, S. 107–128.
Horst Herrlich: Axiom of Choice. Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6.
Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the Axiom of Choice. American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6.
Per Martin-Löf: 100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it? (PDF-Datei; 257 kB)

Weblinks

Auf dem Werk von Howard und Rubin basierende Übersicht über Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen (zuletzt 2002 aktualisiert, interaktive Online-Version).

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