Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume

Diese Seite beinhaltet die Vektorräume, die in dem Kurs verwendet werden.

Defintion: Vektorraum

Sei $𝕂$ ein Körper und $V=(V,+)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt $V$ einen $𝕂$-Vektorraum, wenn eine Abbildung

$\cdot :𝕂\times V\to V$ mit $(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v$ ,

definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt $\lambda ,\mu \in 𝕂$ und $v,w\in V$ beliebig .

• (ES) $1\cdot v=v$ (Einselement skalare Multiplikation)
• (AMS) $\lambda \cdot (\mu \cdot v)=(\lambda \cdot \mu )\cdot v.$ (assoziative Multiplikation mit Skalaren)
• (DV) $\lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w.$ (Vektoren distributiv)
• (DS) $(\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v.$ (Skalare distributiv)

Endlichdimensionale Vektorräume 1

Sei $n\in \mathbb{N}$, dann ist

• ${\mathbb{Q}}^n$ ein endlichdimensionaler $\mathbb{Q}$-Vektorraum der Dimension $n$,
• ${ℝ}^n$ ein endlichdimensionaler $ℝ$-Vektorraum der Dimension $n$,
• ${ℂ}^n$ ein endlichdimensionaler $ℂ$-Vektorraum der Dimension $n$,

Aufgaben

• (Unterscheidung von Verknüpfungen - $𝕂$-Algebra) Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein $𝕂$-Vektorraum und eine $𝕂$-Algebra? Unterscheiden Sie drei Multiplikationszeichen in einer $𝕂$-Algebra und identifizieren Sie in den definierenden Eigenschaften des $𝕂$-Vektorraums bzw. der $𝕂$-Algebra, welche Multiplikation gemeint ist.
  • Multiplikation im Körper $𝕂$,
  • Multiplikation mit Skalaren als äußere Verknüpfung,
  • Multiplikation von Elementen aus dem Vektorraum als innere Verknüpfung in einer $𝕂$-Algebra,
• (Unterscheidung von Verknüpfungen - Hilbert-Raum) Sei $𝕂:=ℝ$ oder $𝕂:=ℂ$. Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein $𝕂$-Vektorraum und ein Hilbertraum über dem Körper $𝕂$? Unterscheiden Sie drei Verküpfungen in einem $𝕂$-Hilbertraum und vergleichen dabei auch die definierenden Eigenschaften einer Multiplikation als innere Verknüpfung in einer $𝕂$-Algebra mit den Eigenschaften eines Skalarproduktes in einem Hilbert-Raum über dem Körper $𝕂$. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest?

Endlichdimensionale Vektorräume von Matrizen 2

Seien $m,n\in \mathbb{N}$, dann ist

• $Mat(m\times n,\mathbb{Q})$ ($m\times n$-Matrizen mit Komponenten in $\mathbb{Q}$) ein endlichdimensionaler $\mathbb{Q}$-Vektorraum der Dimension $m\cdot n$,
• $Mat(m\times n,ℝ)$ ($m\times n$-Matrizen mit Komponenten in $ℝ$) ein endlichdimensionaler $ℝ$-Vektorraum der Dimension $m\cdot n$,
• $Mat(m\times n,ℂ)$ ($m\times n$-Matrizen mit Komponenten in $ℂ$) ein endlichdimensionaler $ℂ$-Vektorraum der Dimension $m\cdot n$,

Unendlichdimensionale Vektorräume von Funktionen 1

Sei $𝒞([a,b],𝕂)$ die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall $[a.b]$ in den Körper $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ als Wertebereich. Dann ist

• $𝒞([a,b],\mathbb{Q})$ eine unendlichdimensionaler $\mathbb{Q}$-Vektorraum,
• $𝒞([a,b],ℝ)$ eine unendlichdimensionaler $ℝ$-Vektorraum,
• $𝒞([a,b],ℂ)$ eine unendlichdimensionaler $ℂ$-Vektorraum.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Funktionen 2

Mit $V=𝒞([a,b],𝕂)$ und $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

$+:V\times V\to V$ mit $(f,g)\mapsto f+g:=h$ und $h(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

$\cdot :𝕂\times V\to V$ mit $(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h$ und $h(x):=\lambda \cdot f(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Stetige reellwertige Funktionen

Im den folgenden Beispielen wird der Raum stetigen Funktionen von $𝔻\subset ℝ$ nach $ℝ$ betrachtet und mit

• (C1) $𝔻:=[a,b]$ zu einem normiertem Raum,
• (C2) $𝔻:=ℝ$ zu einem lokalkonvex Raum ($ℒ𝒞$-Raum),
• (C3) $𝔻:=[a,b]$ mit einem Skalarprodukt sogar zu einem Prähilbertraum.

Beispiel C1 - Normierter Raum

Die Kompaktheit des Definitionsbereiches $[a,b]$ macht den Raum $𝒞([a,b],ℝ)$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $ℝ$ mit der Norm

$\Vert f\Vert :={\int }_a^b|f(x)|dx$

zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Beispiel C2 - Normierter Raum

Mit $𝔻:=ℝ$ wäre das uneigentliche Integral

$\Vert f\Vert :={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|f(x)|dx$

für beliebige stetige Funktion nicht notwendig endlich (z.B. $f(x)=x^2$). Daher geht man zu einem System von Halbnormen über:

$\Vert f{\Vert }_n:={\int }_{-n}^{+n}|f(x)|dx.$

Mit diesem Halbnormensystem wird $(𝒞(ℝ,ℝ),\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}})$ zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

Beispiel C3 - Prähilbertraum

Die Kompaktheit des Definitionsbereiches $[a,b]$ macht den Raum $𝒞([a,b],ℝ)$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $ℝ$ mit dem dem Skalarprodukt

$⟨f,g⟩:={\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx$

zu einem Prähilbertraum und damit über $\Vert f{\Vert }_2:=\sqrt{⟨f,f⟩}$ auch zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Beispiel C3.1 - Prähilbertraum - Einselement

Das Einselement $e\in 𝒞([a,b],ℝ)$ ist die konstante Funktion 1 mit $e(x)=1$ für alle $x\in [a,b]$ mit:

$\Vert e{\Vert }_2=\sqrt{⟨e,e⟩}=\sqrt{{\int }_a^{b}1\cdot 1dx}=\sqrt{b-a}$

Beispiel C3.2 - Prähilbertraum - Vollständigkeit

Der Raum $𝒞([a,b],ℝ)$ mit der Norm $\Vert \cdot {\Vert }_2$ ist nicht vollständig.

Beispiel C3.3 - Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt:

$|⟨f,g⟩|=|{\int }_a^{b}f(x)\cdot g(x)dx|\le \Vert f{\Vert }_2\cdot \Vert g{\Vert }_2$

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 3

Sei $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ ein Körper, dann bezeichnet

• ${𝕂}^{\mathbb{N}}:=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}|a_n\in 𝕂\text{ für alle }n\in \mathbb{N}\}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in $𝕂$.
• $c_{oo}(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|{\mathrm{\exists }}_{n_0\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n\ge n_0}:a_n=0\}$, die Menge der Folgen in $𝕂$, die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.
• $c_o(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0\}$, die Menge der Nullfolgen
• $c(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|{\mathrm{\exists }}_{a_0\in 𝕂}:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a_0\}$, die Menge der konvergenten Folgen in $𝕂$.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 4

Sei $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ ein Körper, dann bezeichnet

• ${\ell }_1(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|<\mathrm{\infty }\}$, die Menge der Folgen in $𝕂$, die absolute konvergent sind. ${\ell }_1(𝕂)$ ist ein normierter Norm mit $\Vert a\Vert :=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$).
• ${\ell }_p(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^p<\mathrm{\infty }\}$, die Menge der Folgen in $𝕂$, die absolut-p-summierbar sind. Für $1\le p<\mathrm{\infty }$ ist, der Raum normierbar. Für $0<p<1$ ist der Raum lokal beschränkt und noch metrisierbar mit $d_p((a_n{)}_n,(b_n{)}_n):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n-b_n{|}^p$,
• ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(𝕂):=\{(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|{\mathrm{\exists }}_{C>0}:\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}|a_n|<C\}$, die Menge der beschränkten Folgen in $𝕂$ als normierbarer Raum.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 5

Sei $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ ein Körper und $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine monoton fallende Nullfolge mit $0<p_n\le 1$ für alle $n\in \mathbb{N}$ , dann bezeichnet

• ${\ell }_0(𝕂):=\{(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}}\in {𝕂}^{\mathbb{N}}|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^{p_k}<\mathrm{\infty }\}$, die Menge der Folgen in $𝕂$, für die Folge ${(|a_k{|}^{p_k})}_{k\in \mathbb{N}}$ absolute konvergent sind. Mit der Notation ${\ell }_0(𝕂):={\ell }_0(𝕂,(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}})$ gibt die erzeugende Nullfolge in der Definition mit an, falls nicht klar ist, wie die Exponenten $p_k$ der Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^{p_k}$ definiert sind.
• Auf ${\ell }_0(𝕂)$ definiert man die folgenden $p$-Halbnormen $\Vert a{\Vert }_n=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^{p_n}$ für Folgen $a=(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}.}$
• ${\ell }_0(𝕂)$ ist ein pseudokonvexer Vektorraum mit dem $p$-Halbnormensystem $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathbb{N}}$
• Man beachte, dass für die $p$-Halbnorm mit dem Index $n$ der Exponent für alle Folgenindizes $k\in \mathbb{N}$ fest ist.
• Auf ${\ell }_0(𝕂)$ kann auch mit einem Gaugefunktionalsystem so topologisiert werden, dass die Topologie auch nicht pseudokonvex ist.

Folgenräume in normierten Räumen

Sei $(V,\Vert \cdot \Vert )$ ein normierter Vektorraum. Wir betrachten nun Folgen in dem Vektorraum $V$:

• $c_{oo}(V)\in V^{\mathbb{N}}$ ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum $V$, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus $V$.
• $c_o(V)\in V^{\mathbb{N}}$ ist die Menge der Nullfolgen, wobei die Folgen bzgl. der Norm $\Vert \cdot \Vert )$ gegen den Nullvektor $0_{{}_V}$ konvergieren, d.h.:

$(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in c_o(V)\in V^{\mathbb{N}}:\iff {\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{n_{\epsilon }\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n>n_{\epsilon }}:\Vert v_n\Vert <\epsilon$

• $c(V)\in V^{\mathbb{N}}$ ist die Menge der konvergenten Folgen in $V$, wobei die Folgen bzgl. der Norm $\Vert \cdot \Vert )$ gegen den Vektor $v_o\in V$ konvergieren, d.h.:

$(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in c(V)\in V^{\mathbb{N}}:\iff {\mathrm{\exists }}_{v_o\in V}{\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{n_{\epsilon }\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n>n_{\epsilon }}:\Vert v_n-v_o\Vert <\epsilon$

Die Folgenräume sind selbst wieder normierbar (z.B. mit $\Vert (v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}\Vert v_n\Vert$, wobei $\Vert (v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$ für alle $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }_{\mathrm{\infty }}(V)$ nach Definition von gilt).

Teilmengenbeziehung zwischen Folgenräumen

Die folgenden Mengeninklusionen werden betrachtet:

• Konvergente Folgen in der Menge der normbeschränkten Folgen:
• Teilmengenbeziehung zwischen ${\ell }_p(V)$-Räumen für unterschiedliche $p>0$.

Teilmengenbeziehung für konvergente Folgen

Sei $(V,\Vert \cdot \Vert )$ ein normierter Vektorraum. Wir betrachten nun Folgen in dem Vektorraum $V$:

$c_{oo}(V)\subseteq c_o(V)\subseteq c(V)\subset {\ell }_{\mathrm{\infty }}(V)$

Dabei ist ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(V)$ auf eine normierten Vektorraum $(V,\Vert \cdot \Vert )$ wie folgt definiert:

$(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\ell }_{\mathrm{\infty }}(V)\in V^{\mathbb{N}}:\iff \Vert (v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}\Vert v_n\Vert <\mathrm{\infty }$

Teilmengenbeziehung 1 für p-summierbare Folgen

Für $1\le p<q<\mathrm{\infty }$ gilt:

${\ell }_p(V)\subset {\ell }_q(V)\subset {\ell }_{\mathrm{\infty }}(V)$

Für $1\le p<\mathrm{\infty }$ ist ${\ell }_p(V)$ mit folgender Norm ebenfalls normierbar:

$\Vert (v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_p:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert v_n\Vert$

Für $p=\mathrm{\infty }$ verwendet man die Supremumsnorm $\Vert (v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}\Vert v_n\Vert$ auf ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(V)$.

Teilmengenbeziehung 2 für p-summierbare Folgen

Für $0<p<q<1$ gilt mit ${\ell }_0(V):={\ell }_0(V,(p_n{)}_{k\in \mathbb{N}})$

${\ell }_0(V)\subset {\ell }_p(V)\subset {\ell }_q(V)\subset {\ell }_1(V)$

Für $0\le p<1$ ist ${\ell }_p(V)$ mit folgender $p$-Norm ebenfalls $p$-normierbar:

$\Vert (v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}{\Vert }_p:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert v_n{\Vert }^p$

Teilmengenbeziehung 3 für p-summierbare Folgen

Für $(p_k{)}_{k\in \mathbb{N}}=c_o({ℝ}^{+})$ verwendet man das folgende Funktional für die Erzeugung von kreisförmigen Nullumgebung:

$𝔏((v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}):=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert v_n{\Vert }^{p_k}$ auf ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(V)$.

Die Funktion $𝔏$ ist dabei weder absolute homogene noch $p$-homogen und damit kein $p$-Gaugefunktional.

Aufgaben für Studierende

Beweisen Sie die obigen Mengeninklusionen für die Folgenräume.

Vektorraum von Polynomen

Sei $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ ein Körper und $(V,\Vert \cdot \Vert$ ein normierter $𝕂$-Vektorraum, dann bezeichnet

$V[x]:=\left\{p|(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in c_{oo}(V)\wedge p(x):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n\cdot x^n\right\}$ die Menge der Polynome mit Koeffizienten in $V$.

Für ein spezielles $x\in 𝕂$ ist $p(x)\in V$ eine Linearkombination aus Vektoren von $V$, wobei die Koeffzienten der Multiplikation mit Skalaren Potenzen $x^n\in 𝕂$ von einem Skalar $x\in 𝕂$ sind.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Folgen 4

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert, analog zur Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren im ${\mathbb{Q}}^n$, ${ℝ}^n$ oder ${ℂ}^n$. Mit $V={𝕂}^{\mathbb{N}}$ und $𝕂=\mathbb{Q},ℝ,ℂ)$ ist die innere Verknüpfung mit $a:=(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $b:=(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $c:=(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ wie folgt definiert:

$+:V\times V\to V$ mit $(a,b)\mapsto a+b:=c$ und $c_n:=a_n+b_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$.

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Komponenten der Folge mit dem Skalar definert:

$\cdot :𝕂\times V\to V$ mit $(\lambda ,a)\mapsto \lambda \cdot a:=c$ und $c_n:=\lambda \cdot a_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$.

Aufgaben für Lernende

• Betrachten Sie den Zahlenmenge der reellen Zahlen $ℝ$ als Vektorraum über dem Körper $\mathbb{Q}$. Ist $(ℝ,+,\cdot ,\mathbb{Q})$ ein endlichdimensionaler oder ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper $\mathbb{Q}$? Begründen Sie Ihre Antwort!
• Zeigen Sie, dass die von $v_1=3$ und $v_2=\sqrt{3}$ aufgespannten Untervektorräume $U$ in dem $\mathbb{Q}$-Vektorraum $(ℝ,+,\cdot ,\mathbb{Q})$ als Schnittmenge mit $\sqrt{5}\cdot \mathbb{Q}$ nur den Nullvektor $0$ enthalten!
• Analysieren Sie die Mengeninklusion bei den Folgenräumen und betrachtet Sie auch die Konvergenzeigenschaften von Reihen, die aus den Folgen generiert werden können mit:

${\ell }^p(𝕂):=\{(x_n{)}_n\in {𝕂}^{\mathbb{N}}:\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }\}$.

Welche Teilmengenbeziehung besteht zwischen ${\ell }^1(𝕂)$ und $c_o(𝕂)$? Verallgemeinern Sie diesen Ansatz auf ${\ell }^1(V)$ und $c_o(V)$ für einen normierten Raum $(V,\Vert \cdot \Vert )$! Ist das ebenfalls für einen metrischen Raum $(V,d)$ möglich?

Siehe auch

• absolute Homogenität
• Banachalgebra
• Cauchy-Folgen
• Folgenräume
• Ideal (Algebra)
• Komplexe Zahlen
• Konvergenz (Mathematik)
• Lineare Abbildung
• lokal beschränkt
• lokalkonvex
• Maschinelles Lernen
• pseudokonvex
• p-konvexe Subadditivität
• MLC-Algebra, MLC-Algebra
• Netze (Mathematik)
• Prähilbertraum
• Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen
• submultiplikativ
• Topologische Invertierbarkeitskriterien

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