Diese Seite beinhaltet die Vektorräume, die in dem Kurs verwendet werden.
Sei
ein Körper und
eine kommutative Gruppe. Man nennt
einen
-Vektorraum, wenn eine Abbildung
mit
,
definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt
und
beliebig .
- (ES)
(Einselement skalare Multiplikation)
- (AMS)
(assoziative Multiplikation mit Skalaren)
- (DV)
(Vektoren distributiv)
- (DS)
(Skalare distributiv)
Sei
, dann ist
ein endlichdimensionaler
-Vektorraum der Dimension
,
ein endlichdimensionaler
-Vektorraum der Dimension
,
ein endlichdimensionaler
-Vektorraum der Dimension
,
- (Unterscheidung von Verknüpfungen -
-Algebra) Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein
-Vektorraum und eine
-Algebra? Unterscheiden Sie drei Multiplikationszeichen in einer
-Algebra und identifizieren Sie in den definierenden Eigenschaften des
-Vektorraums bzw. der
-Algebra, welche Multiplikation gemeint ist.
- Multiplikation im Körper
,
- Multiplikation mit Skalaren als äußere Verknüpfung,
- Multiplikation von Elementen aus dem Vektorraum als innere Verknüpfung in einer
-Algebra,
- (Unterscheidung von Verknüpfungen - Hilbert-Raum) Sei
oder
. Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein
-Vektorraum und ein Hilbertraum über dem Körper
? Unterscheiden Sie drei Verküpfungen in einem
-Hilbertraum und vergleichen dabei auch die definierenden Eigenschaften einer Multiplikation als innere Verknüpfung in einer
-Algebra mit den Eigenschaften eines Skalarproduktes in einem Hilbert-Raum über dem Körper
. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest?
Endlichdimensionale Vektorräume von Matrizen 2
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Seien
, dann ist
(
-Matrizen mit Komponenten in
) ein endlichdimensionaler
-Vektorraum der Dimension
,
(
-Matrizen mit Komponenten in
) ein endlichdimensionaler
-Vektorraum der Dimension
,
(
-Matrizen mit Komponenten in
) ein endlichdimensionaler
-Vektorraum der Dimension
,
Unendlichdimensionale Vektorräume von Funktionen 1
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Sei
die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall
in den Körper
als Wertebereich. Dann ist
eine unendlichdimensionaler
-Vektorraum,
eine unendlichdimensionaler
-Vektorraum,
eine unendlichdimensionaler
-Vektorraum.
Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Funktionen 2
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Mit
und
ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:
mit
und
für alle
.
Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes
definert:
mit
und
für alle
.
Die Kompaktheit des Definitionsbereiches
macht den Raum
der stetigen Funktionen von
nach
mit der Norm
![{\displaystyle \|f\|:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61574172efecad7e51f16e58f2b980e8ecbb5d2)
zu einem nomierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie). Mit den Halbnormen
![{\displaystyle \|f\|_{n}:=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00db03a622111007d172f5c2ab748e5a16d8dd1)
wird
zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.
Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 3
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Sei
ein Körper, dann bezeichnet
die Menge der Folgen mit Folgengliedern in
.
, die Menge der Folgen in
, die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.
, die Menge der Nullfolgen
, die Menge der konvergenten Folgen in
.
Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 4
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Sei
ein Körper, dann bezeichnet
, die Menge der Folgen in
, die absolute konvergent sind.
ist ein normierter Norm mit
).
, die Menge der Folgen in
, die absolut-p-summierbar sind. Für
ist, der Raum normierbar. Für
ist der Raum noch metrisierbar mit
,
, die Menge der beschränkten Folgen in
als normierbarer Raum.
Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 5
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Sei
ein Körper und
eine monoton fallende Nullfolge mit
für alle
, dann bezeichnet
, die Menge der Folgen in
, für die Folge
absolute konvergent sind.
- Auf
definiert man die folgenden
-Halbnormen
für Folgen ![{\displaystyle a=(a_{k})_{k\in \mathbb {N} .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3ae5b56ba18066714f451a01b64709043918a3)
ist ein pseudokonvexer Vektorraum mit dem
Halbnormensystem ![{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8790f216c9ae4129c25f471bbc68b140acd9a5)
- Man beachte, dass für die
-Halbnorm mit dem Index
der Exponent für alle Folgenindizes
fest ist.
Sei
ein normierter Vektorraum. Wir betrachten nun Folgen in dem Vektorraum
:
ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum
, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus
.
ist die Menge der Nullfolgen, wobei die Folgen bzgl. der Norm
gegen den Nullvektor konvergieren, d.h.:
![{\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad :\Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}\|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6a30fca0dbe288260cb631b0a0695664a284e5)
ist die Menge der konvergenten Folgen in
, wobei die Folgen bzgl. der Norm
gegen den Vektor
konvergieren, d.h.:
![{\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad :\Leftrightarrow \quad \exists _{v_{o}\in V}\forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}-v_{o}\|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8f66c27d75017593f1dcb267416c4e128d4a82)
Die Folgenräume sind selbst wieder normierbar (z.B. mit
)
Sei
ein Körper und
ein normierter
-Vektorraum, dann bezeichnet
die Menge der Polynome mit Koeffizienten in
.
Für ein spezielles
ist
eine Linearkombination aus Vektoren von
, wobei die Koeffzienten der Multiplikation mit Skalaren Potenzen
von einem Skalar
sind.
Innere und äußere Verknüfung auf Vektorräumen von Folgen 4
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Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert, analog zur Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren im
,
oder
.
Mit
und
ist die innere Verknüpfung mit
,
und
wie folgt definiert:
mit
und
für alle
.
Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes
definert:
mit
und
für alle
.
- Betrachten Sie den Zahlenmenge der reellen Zahlen
als Vektorraum über dem Körper
. Ist
ein endlichdimensionaler oder ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper
? Begründen Sie Ihre Antwort!
- Zeigen Sie, dass die von
und
aufgespannten Untervektorräume in dem
-Vektorraum
als Schnittmenge nur den Nullvektor
enthalten!
- Analysieren Sie die Mengeninklusion bei den Folgenräumen und betrachtet Sie auch die Konvergenzeigenschaften von Reihen, die aus den Folgen generiert werden können mit:
.
- Welche Teilmengenbeziehung besteht zwischen
und
? Verallgemeinern Sie diesen Ansatz auf
und
für einen normierten Raum
! Ist das ebenfalls für einen metrischen Raum
möglich?
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