Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume

Diese Seite beinhaltet die Vektorräume, die in dem Kurs verwendet werden.

Defintion: Vektorraum

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper und $V=(V,+)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt $V$ einen $\mathbb {K}$ -Vektorraum, wenn eine Abbildung

\cdot :\mathbb {K} \times V\rightarrow V

mit

(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v

,

definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt $\lambda ,\mu \in \mathbb {K}$ und $v,w\in V$ beliebig .

(ES) $1\cdot v=v$ (Einselement skalare Multiplikation)
(AMS) $\lambda \cdot (\mu \cdot v)=(\lambda \cdot \mu )\cdot v.$ (assoziative Multiplikation mit Skalaren)
(DV) $\lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w.$ (Vektoren distributiv)
(DS) $(\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v.$ (Skalare distributiv)

Endlichdimensionale Vektorräume 1

Sei $n\in \mathbb {N}$ , dann ist

$\mathbb {Q} ^{n}$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {Q}$ -Vektorraum der Dimension $n$ ,
$\mathbb {R} ^{n}$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$ -Vektorraum der Dimension $n$ ,
$\mathbb {C} ^{n}$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {C}$ -Vektorraum der Dimension $n$ ,

Aufgaben

(Unterscheidung von Verknüpfungen - $\mathbb {K}$ -Algebra) Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ -Vektorraum und eine $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ -Algebra? Unterscheiden Sie drei Multiplikationszeichen in einer $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ -Algebra und identifizieren Sie in den definierenden Eigenschaften des $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ -Vektorraums bzw. der $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ -Algebra, welche Multiplikation gemeint ist.
- Multiplikation im Körper $\mathbb {K}$ ,
- Multiplikation mit Skalaren als äußere Verknüpfung,
- Multiplikation von Elementen aus dem Vektorraum als innere Verknüpfung in einer $\mathbb {K}$ -Algebra,
(Unterscheidung von Verknüpfungen - Hilbert-Raum) Sei $\mathbb {K} :=\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} :=\mathbb {C}$ . Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein $\mathbb {K}$ -Vektorraum und ein Hilbertraum über dem Körper $\mathbb {K}$ ? Unterscheiden Sie drei Verküpfungen in einem $\mathbb {K}$ -Hilbertraum und vergleichen dabei auch die definierenden Eigenschaften einer Multiplikation als innere Verknüpfung in einer $\mathbb {K}$ -Algebra mit den Eigenschaften eines Skalarproduktes in einem Hilbert-Raum über dem Körper $\mathbb {K}$ . Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest?

Endlichdimensionale Vektorräume von Matrizen 2

Seien $m,n\in \mathbb {N}$ , dann ist

$Mat(m\times n,\mathbb {Q} )$ ( $m\times n$ -Matrizen mit Komponenten in $\mathbb {Q}$ ) ein endlichdimensionaler $\mathbb {Q}$ -Vektorraum der Dimension $m\cdot n$ ,
$Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ ( $m\times n$ -Matrizen mit Komponenten in $\mathbb {R}$ ) ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$ -Vektorraum der Dimension $m\cdot n$ ,
$Mat(m\times n,\mathbb {C} )$ ( $m\times n$ -Matrizen mit Komponenten in $\mathbb {C}$ ) ein endlichdimensionaler $\mathbb {C}$ -Vektorraum der Dimension $m\cdot n$ ,

Unendlichdimensionale Vektorräume von Funktionen 1

Sei ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall $[a.b]$ in den Körper $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ als Wertebereich. Dann ist

${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {Q} )$ eine unendlichdimensionaler $\mathbb {Q}$ -Vektorraum,
${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ eine unendlichdimensionaler $\mathbb {R}$ -Vektorraum,
${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )$ eine unendlichdimensionaler $\mathbb {C}$ -Vektorraum.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Funktionen 2

Mit $V={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ und $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

+:V\times V\to V

mit

(f,g)\mapsto f+g:=h

und

h(x):=f(x)+g(x)

für alle

x\in [a,b]

.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

\cdot :\mathbb {K} \times V\to V

mit

(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h

und

h(x):=\lambda \cdot f(x)

für alle

x\in [a,b]

.

Stetige reellwertige Funktionen

Im den folgenden Beispielen wird der Raum stetigen Funktionen von $\mathbb {D} \subset \mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ betrachtet und mit

(C1) $\mathbb {D} :=[a,b]$ zu einem normiertem Raum,
(C2) $\mathbb {D} :=\mathbb {R}$ zu einem lokalkonvex Raum ( ${\mathcal {LC}}$ -Raum),
(C3) $\mathbb {D} :=[a,b]$ mit einem Skalarprodukt sogar zu einem Prähilbertraum.

Beispiel C1 - Normierter Raum

Die Kompaktheit des Definitionsbereiches $[a,b]$ macht den Raum ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ mit der Norm

\|f\|:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx

zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Beispiel C2 - Normierter Raum

Mit $\mathbb {D} :=\mathbb {R}$ wäre das uneigentliche Integral

\|f\|:=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|\,dx

für beliebige stetige Funktion nicht notwendig endlich (z.B. $f(x)=x^{2}$ ). Daher geht man zu einem System von Halbnormen über:

\|f\|_{n}:=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx\,\,.

Mit diesem Halbnormensystem wird $({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

Beispiel C3 - Prähilbertraum

Die Kompaktheit des Definitionsbereiches $[a,b]$ macht den Raum ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ mit dem dem Skalarprodukt

\langle f,g\rangle :=\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\,dx

zu einem Prähilbertraum und damit über $\|f\|_{2}:={\sqrt {\langle f,f\rangle }}$ auch zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie).

Beispiel C3.1 - Prähilbertraum - Einselement

Das Einselement $e\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ ist die konstante Funktion 1 mit $e(x)=1$ für alle $x\in [a,b]$ mit:

\|e\|_{2}={\sqrt {\langle e,e\rangle }}=\displaystyle {\sqrt {\int _{a}^{b}1\cdot 1\,dx}}={\sqrt {b-a}}

Beispiel C3.2 - Prähilbertraum - Vollständigkeit

Der Raum ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ mit der Norm $\|\cdot \|_{2}$ ist nicht vollständig.

Beispiel C3.3 - Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt:

|\langle f,g\rangle |=\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\,dx\right|\leq \|f\|_{2}\cdot \|g\|_{2}

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 3

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper, dann bezeichnet

$\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,|\,a_{n}\in \mathbb {K} \,{\mbox{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in $\mathbb {K}$ .
$c_{oo}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq n_{0}}\,:\,a_{n}=0\}$ , die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$ , die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.
$c_{o}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=0\}$ , die Menge der Nullfolgen
$c(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{a_{0}\in \mathbb {K} }\,:\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}\}$ , die Menge der konvergenten Folgen in $\mathbb {K}$ .

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 4

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper, dann bezeichnet

$\ell _{1}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \}$ , die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$ , die absolute konvergent sind. $\ell _{1}(\mathbb {K} )$ ist ein normierter Norm mit $\|a\|:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ ).
$\ell _{p}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \}$ , die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$ , die absolut-p-summierbar sind. Für $1\leq p<\infty$ ist, der Raum normierbar. Für $0<p<1$ ist der Raum lokal beschränkt und noch metrisierbar mit $d_{p}((a_{n})_{n},(b_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}-b_{n}|^{p}$ ,
$\ell _{\infty }(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{C>0}\,:\,\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|<C\}$ , die Menge der beschränkten Folgen in $\mathbb {K}$ als normierbarer Raum.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 5

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper und $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge mit $0<p_{n}\leq 1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , dann bezeichnet

$\ell _{0}(\mathbb {K} ):=\{(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p_{k}}<\infty \}$ , die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$ , für die Folge $\left(|a_{k}|^{p_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ absolute konvergent sind. Mit der Notation $\ell _{0}(\mathbb {K} ):=\ell _{0}(\mathbb {K} ,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} })$ gibt die erzeugende Nullfolge in der Definition mit an, falls nicht klar ist, wie die Exponenten $p_{k}$ der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p_{k}}$ definiert sind.
Auf $\ell _{0}(\mathbb {K} )$ definiert man die folgenden $p$ -Halbnormen $\|a\|_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p_{n}}$ für Folgen $a=(a_{k})_{k\in \mathbb {N} .}$
$\ell _{0}(\mathbb {K} )$ ist ein pseudokonvexer Vektorraum mit dem $p$ -Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} }$
Man beachte, dass für die $p$ -Halbnorm mit dem Index $n$ der Exponent für alle Folgenindizes $k\in \mathbb {N}$ fest ist.
Auf $\ell _{0}(\mathbb {K} )$ kann auch mit einem Gaugefunktionalsystem so topologisiert werden, dass die Topologie auch nicht pseudokonvex ist.

Folgenräume in normierten Räumen

Sei $(V,\|\cdot \|)$ ein normierter Vektorraum. Wir betrachten nun Folgen in dem Vektorraum $V$ :

$c_{oo}(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum $V$ , bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus $V$ .
$c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der Nullfolgen, wobei die Folgen bzgl. der Norm $\|\cdot \|)$ gegen den Nullvektor $0_{_{V}}$ konvergieren, d.h.:

(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad :\Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}\|<\varepsilon

$c(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der konvergenten Folgen in $V$ , wobei die Folgen bzgl. der Norm $\|\cdot \|)$ gegen den Vektor $v_{o}\in V$ konvergieren, d.h.:

(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad :\Leftrightarrow \quad \exists _{v_{o}\in V}\forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}-v_{o}\|<\varepsilon

Die Folgenräume sind selbst wieder normierbar (z.B. mit $\|(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|v_{n}\|$ , wobei $\|(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{\infty }<\infty$ für alle $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }(V)$ nach Definition von gilt).

Teilmengenbeziehung zwischen Folgenräumen

Die folgenden Mengeninklusionen werden betrachtet:

Konvergente Folgen in der Menge der normbeschränkten Folgen:
Teilmengenbeziehung zwischen $\ell _{p}(V)$ -Räumen für unterschiedliche $p>0$ .

Teilmengenbeziehung für konvergente Folgen

Sei $(V,\|\cdot \|)$ ein normierter Vektorraum. Wir betrachten nun Folgen in dem Vektorraum $V$ :

c_{oo}(V)\subseteq c_{o}(V)\subseteq c(V)\subset \ell _{\infty }(V)

Dabei ist $\ell _{\infty }(V)$ auf eine normierten Vektorraum $(V,\|\cdot \|)$ wie folgt definiert:

(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad :\Leftrightarrow \quad \|(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|v_{n}\|<\infty

Teilmengenbeziehung 1 für p-summierbare Folgen

Für $1\leq p<q<\infty$ gilt:

\ell _{p}(V)\subset \ell _{q}(V)\subset \ell _{\infty }(V)

Für $1\leq p<\infty$ ist $\ell _{p}(V)$ mit folgender Norm ebenfalls normierbar:

\|(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}:=\sum _{k=1}^{\infty }\|v_{n}\|

Für $p=\infty$ verwendet man die Supremumsnorm $\|(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|v_{n}\|$ auf $\ell _{\infty }(V)$ .

Teilmengenbeziehung 2 für p-summierbare Folgen

Für $0<p<q<1$ gilt mit $\ell _{0}(V):=\ell _{0}(V,(p_{n})_{k\in \mathbb {N} })$

\ell _{0}(V)\subset \ell _{p}(V)\subset \ell _{q}(V)\subset \ell _{1}(V)

Für $0\leq p<1$ ist $\ell _{p}(V)$ mit folgender $p$ -Norm ebenfalls $p$ -normierbar:

\|(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}:=\sum _{k=1}^{\infty }\|v_{n}\|^{p}

Teilmengenbeziehung 3 für p-summierbare Folgen

Für $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} }=c_{o}(\mathbb {R} ^{+})$ verwendet man das folgende Funktional für die Erzeugung von kreisförmigen Nullumgebung:

{\mathfrak {L}}{\big (}(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\big )}:=\sum _{k=1}^{\infty }\|v_{n}\|^{p_{k}}

auf

\ell _{\infty }(V)

.

Die Funktion ${\mathfrak {L}}$ ist dabei weder absolute homogene noch $p$ -homogen und damit kein $p$ -Gaugefunktional.

Aufgaben für Studierende

Beweisen Sie die obigen Mengeninklusionen für die Folgenräume.

Vektorraum von Polynomen

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper und $(V,\|\cdot \|$ ein normierter $\mathbb {K}$ -Vektorraum, dann bezeichnet

V[x]:=\left\{p\,\left|\,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{oo}(V)\wedge p(x):=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}\cdot x^{n}\right.\right\}

die Menge der Polynome mit Koeffizienten in

V

.

Für ein spezielles $x\in \mathbb {K}$ ist $p(x)\in V$ eine Linearkombination aus Vektoren von $V$ , wobei die Koeffzienten der Multiplikation mit Skalaren Potenzen $x^{n}\in \mathbb {K}$ von einem Skalar $x\in \mathbb {K}$ sind.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Folgen 4

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert, analog zur Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren im $\mathbb {Q} ^{n}$ , $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$ . Mit $V=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ und $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ist die innere Verknüpfung mit $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , $b:=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $c:=(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ wie folgt definiert:

+:V\times V\to V

mit

(a,b)\mapsto a+b:=c

und

c_{n}:=a_{n}+b_{n}

für alle

n\in \mathbb {N}

.

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Komponenten der Folge mit dem Skalar definert:

\cdot :\mathbb {K} \times V\to V

mit

(\lambda ,a)\mapsto \lambda \cdot a:=c

und

c_{n}:=\lambda \cdot a_{n}

für alle

n\in \mathbb {N}

.

Aufgaben für Lernende

Betrachten Sie den Zahlenmenge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ als Vektorraum über dem Körper $\mathbb {Q}$ . Ist $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\mathbb {Q} )$ ein endlichdimensionaler oder ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper $\mathbb {Q}$ ? Begründen Sie Ihre Antwort!
Zeigen Sie, dass die von $v_{1}=3$ und $v_{2}={\sqrt {3}}$ aufgespannten Untervektorräume $U$ in dem $\mathbb {Q}$ -Vektorraum $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\mathbb {Q} )$ als Schnittmenge mit ${\sqrt {5}}\cdot \mathbb {Q}$ nur den Nullvektor $0$ enthalten!
Analysieren Sie die Mengeninklusion bei den Folgenräumen und betrachtet Sie auch die Konvergenzeigenschaften von Reihen, die aus den Folgen generiert werden können mit: