Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume

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Diese Seite beinhaltet die Vektorräume, die in dem Kurs verwendet werden.

Defintion: Vektorraum[Bearbeiten]

Sei ein Körper und eine kommutative Gruppe. Man nennt einen -Vektorraum, wenn eine Abbildung

mit ,

definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt und beliebig .

  • (ES) (Einselement skalare Multiplikation)
  • (AMS) (assoziative Multiplikation mit Skalaren)
  • (DV) (Vektoren distributiv)
  • (DS) (Skalare distributiv)

Endlichdimensionale Vektorräume 1[Bearbeiten]

Sei , dann ist

  • ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,

Aufgaben[Bearbeiten]

  • (Unterscheidung von Verknüpfungen - -Algebra) Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein -Vektorraum und eine -Algebra? Unterscheiden Sie drei Multiplikationszeichen in einer -Algebra und identifizieren Sie in den definierenden Eigenschaften des -Vektorraums bzw. der -Algebra, welche Multiplikation gemeint ist.
    • Multiplikation im Körper ,
    • Multiplikation mit Skalaren als äußere Verknüpfung,
    • Multiplikation von Elementen aus dem Vektorraum als innere Verknüpfung in einer -Algebra,
  • (Unterscheidung von Verknüpfungen - Hilbert-Raum) Sei oder . Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein -Vektorraum und ein Hilbertraum über dem Körper ? Unterscheiden Sie drei Verküpfungen in einem -Hilbertraum und vergleichen dabei auch die definierenden Eigenschaften einer Multiplikation als innere Verknüpfung in einer -Algebra mit den Eigenschaften eines Skalarproduktes in einem Hilbert-Raum über dem Körper . Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest?

Endlichdimensionale Vektorräume von Matrizen 2[Bearbeiten]

Seien , dann ist

  • (-Matrizen mit Komponenten in ) ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • (-Matrizen mit Komponenten in ) ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • (-Matrizen mit Komponenten in ) ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,

Unendlichdimensionale Vektorräume von Funktionen 1[Bearbeiten]

Sei die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall in den Körper als Wertebereich. Dann ist

  • eine unendlichdimensionaler -Vektorraum,
  • eine unendlichdimensionaler -Vektorraum,
  • eine unendlichdimensionaler -Vektorraum.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Funktionen 2[Bearbeiten]

Mit und ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

mit und für alle .

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes definert:

mit und für alle .

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 3[Bearbeiten]

Sei ein Körper, dann bezeichnet

  • die Menge der Folgen mit Folgengliedern in .
  • , die Menge der Folgen in , die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.
  • , die Menge der Nullfolgen
  • , die Menge der konvergenten Folgen in .

Folgenräume in normierten Räumen[Bearbeiten]

Sei ein normierter Vektorraum :

  • ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum , bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus .
  • ist die Menge der Nullfolgen, wobei die Folgen bzgl. der Norm gegen den Nullvektor konvergieren, d.h.:
  • ist die Menge der konvergenten Folgen in , wobei die Folgen bzgl. der Norm gegen den Vektor konvergieren, d.h.:

Vektorraum von Polynomen[Bearbeiten]

Sei ein Körper und ein normierter -Vektorraum, dann bezeichnet

die Menge der Polynome mit Koeffizienten in .

Für ein spezielles ist eine Linearkombination aus Vektoren von , wobei die Koeffzienten der Multiplikation mit Skalaren Potenzen von einem Skalar sind.

Innere und äußere Verknüfung auf Vektorräumen von Folgen 4[Bearbeiten]

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert, analog zur Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren im , oder . Mit und ist die innere Verknüpfung mit , und wie folgt definiert:

mit und für alle .

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes definert:

mit und für alle .

Aufgaben für Lernende[Bearbeiten]

  • Betrachten Sie den Zahlenmenge der reellen Zahlen als Vektorraum über dem Körper . Ist ein endlichdimensionaler oder ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper ? Begründen Sie Ihre Antwort!
  • Zeigen Sie, dass die von und aufgespannten Untervektorräume in dem -Vektorraum als Schnittmenge nur den Nullvektor enthalten!
  • Analysieren Sie die Mengeninklusion bei den Folgenräumen und betrachtet Sie auch die Konvergenzeigenschaften von Reihen, die aus den Folgen generiert werden können mit:
.
Welche Teilmengenbeziehung besteht zwischen und ? Verallgemeinern Sie diesen Ansatz auf und für einen normierten Raum ! Ist das ebenfalls für einen metrischen Raum möglich?

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

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