Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume

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Diese Seite beinhaltet die Vektorräume, die in dem Kurs verwendet werden.

Defintion: Vektorraum[Bearbeiten]

Sei ein Körper und eine kommutative Gruppe. Man nennt einen -Vektorraum, wenn eine Abbildung

mit ,

definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt und beliebig .

  • (ES) (Einselement skalare Multiplikation)
  • (AMS) (assoziative Multiplikation mit Skalaren)
  • (DV) (Vektoren distributiv)
  • (DS) (Skalare distributiv)

Endlichdimensionale Vektorräume 1[Bearbeiten]

Sei , dann ist

  • ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,

Aufgaben[Bearbeiten]

  • (Unterscheidung von Verknüpfungen - -Algebra) Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein -Vektorraum und eine -Algebra? Unterscheiden Sie drei Multiplikationszeichen in einer -Algebra und identifizieren Sie in den definierenden Eigenschaften des -Vektorraums bzw. der -Algebra, welche Multiplikation gemeint ist.
    • Multiplikation im Körper ,
    • Multiplikation mit Skalaren als äußere Verknüpfung,
    • Multiplikation von Elementen aus dem Vektorraum als innere Verknüpfung in einer -Algebra,
  • (Unterscheidung von Verknüpfungen - Hilbert-Raum) Sei oder . Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein -Vektorraum und ein Hilbertraum über dem Körper ? Unterscheiden Sie drei Verküpfungen in einem -Hilbertraum und vergleichen dabei auch die definierenden Eigenschaften einer Multiplikation als innere Verknüpfung in einer -Algebra mit den Eigenschaften eines Skalarproduktes in einem Hilbert-Raum über dem Körper . Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest?

Endlichdimensionale Vektorräume von Matrizen 2[Bearbeiten]

Seien , dann ist

  • (-Matrizen mit Komponenten in ) ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • (-Matrizen mit Komponenten in ) ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,
  • (-Matrizen mit Komponenten in ) ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension ,

Unendlichdimensionale Vektorräume von Funktionen 1[Bearbeiten]

Sei die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall in den Körper als Wertebereich. Dann ist

  • eine unendlichdimensionaler -Vektorraum,
  • eine unendlichdimensionaler -Vektorraum,
  • eine unendlichdimensionaler -Vektorraum.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Funktionen 2[Bearbeiten]

Mit und ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

mit und für alle .

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes definert:

mit und für alle .

Stetige reellwertige Funktionen[Bearbeiten]

Die Kompaktheit des Definitionsbereiches macht den Raum der stetigen Funktionen von nach mit der Norm

zu einem nomierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie). Mit den Halbnormen

wird zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 3[Bearbeiten]

Sei ein Körper, dann bezeichnet

  • die Menge der Folgen mit Folgengliedern in .
  • , die Menge der Folgen in , die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.
  • , die Menge der Nullfolgen
  • , die Menge der konvergenten Folgen in .

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 4[Bearbeiten]

Sei ein Körper, dann bezeichnet

  • , die Menge der Folgen in , die absolute konvergent sind. ist ein normierter Norm mit ).
  • , die Menge der Folgen in , die absolut-p-summierbar sind. Für ist, der Raum normierbar. Für ist der Raum noch metrisierbar mit ,
  • , die Menge der beschränkten Folgen in als normierbarer Raum.

Folgenräume in normierten Räumen[Bearbeiten]

Sei ein normierter Vektorraum. Wir betrachten nun Folgen in dem Vektorraum :

  • ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum , bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus .
  • ist die Menge der Nullfolgen, wobei die Folgen bzgl. der Norm gegen den Nullvektor konvergieren, d.h.:
  • ist die Menge der konvergenten Folgen in , wobei die Folgen bzgl. der Norm gegen den Vektor konvergieren, d.h.:

Die Folgenräume sind selbst wieder normierbar (z.B. mit )

Vektorraum von Polynomen[Bearbeiten]

Sei ein Körper und ein normierter -Vektorraum, dann bezeichnet

die Menge der Polynome mit Koeffizienten in .

Für ein spezielles ist eine Linearkombination aus Vektoren von , wobei die Koeffzienten der Multiplikation mit Skalaren Potenzen von einem Skalar sind.

Innere und äußere Verknüfung auf Vektorräumen von Folgen 4[Bearbeiten]

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert, analog zur Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren im , oder . Mit und ist die innere Verknüpfung mit , und wie folgt definiert:

mit und für alle .

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes definert:

mit und für alle .

Aufgaben für Lernende[Bearbeiten]

  • Betrachten Sie den Zahlenmenge der reellen Zahlen als Vektorraum über dem Körper . Ist ein endlichdimensionaler oder ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper ? Begründen Sie Ihre Antwort!
  • Zeigen Sie, dass die von und aufgespannten Untervektorräume in dem -Vektorraum als Schnittmenge nur den Nullvektor enthalten!
  • Analysieren Sie die Mengeninklusion bei den Folgenräumen und betrachtet Sie auch die Konvergenzeigenschaften von Reihen, die aus den Folgen generiert werden können mit:
.
Welche Teilmengenbeziehung besteht zwischen und ? Verallgemeinern Sie diesen Ansatz auf und für einen normierten Raum ! Ist das ebenfalls für einen metrischen Raum möglich?

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

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