Kurs:Funktionentheorie/Kette

Einleitung

Eine Kette ist eine formale Linearkombination von Kurven. Man benötigt für Wegintegrale die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über

den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei Konvexkombinationen über die Dreiecksseiten zusammen und
bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen.

Daher benötigt man in der Funktionentheorie aus den Begriff der Kette und des Zyklus.

Definition - Kette

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ , sei $n\in \mathbb {N}$ und seien $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\to G$ Kurven in $G$ und $n_{i}\in \mathbb {Z}$ . Dann heißt die formale Linearkombination $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\gamma _{i}$ eine Kette in $\mathbb {C}$ . Die Menge aller Ketten in $G$ , die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit $C(G)$ bezeichnet.

Definition - Spur eine Kette

Die Spur einer Kette $\Gamma$ ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven $\gamma _{i}$ , also

\mathrm {Spur} (\Gamma ):=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {Spur} (\gamma _{i})

Definition - Zykel/Zyklus

Eine Kette $\Gamma =\sum _{i=1}^{n}n_{i}\gamma _{i}\in C(G)$ mit $\gamma _{i}\colon [a_{i},b_{i}]\to G$ heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von $G$ gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in $G$ auftritt, d. h. wenn

\sum _{i=1}^{n}n_{i}|\{i:\gamma _{i}(a_{i})=z\}|=\sum _{i=1}^{n}n_{i}|\{i:\gamma _{i}(b_{i})=z\}|

für jedes $z\in G$ gilt.

Innen- und Außengebiet

Sei $\Gamma$ ein Zykel in $\mathbb {C}$ , mit Hilfe der Umlaufzahl kann man eine durch $\Gamma$ bestimmte Zerlegung von $\mathbb {C}$ in drei Teile betrachten, nämlich:

Die Bildmenge der $\mathrm {Spur} (\Gamma )$
Das Außengebiet, diejenigen Punkte, die nicht von $\Gamma$ umlaufen werden, also $A_{\Gamma }:=\{z\in \mathbb {C} \setminus \mathrm {Spur} (\Gamma ):n(\Gamma ,z)=0\}$
Das Innengebiet sind diejenigen Punkte, die von $\Gamma$ umlaufen werden, also $I_{\Gamma }:=\{z\in \mathbb {C} \setminus \mathrm {Spur} (\Gamma ):n(\Gamma ,z)\neq 0\}$

Wegintegral über Ketten/Zyklen

Das Wegintegral über Funktion $f:G\to \mathbb {C}$ bzgl. $n\in \mathbb {N}$ stetig differenzierbare Wege $\gamma _{k}:[a_{k},b_{k}]\to G$ existiert. Dann ist das Integral über eine Kette bzw. Zyklus wie folgt definiert.