Kurs:Funktionentheorie/Spur

Einleitung

In dieser Lerneinheit wird der Begriff der Spur eines Weges definiert und vom Begriff des Graphen eines Weges abgegrenzt.

Definition - Spur Weg

Ein Weg in $\mathbb {C}$ ist eine stetige Abbildung $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C}$. Die Bildmenge

$\mathrm {Spur} (\gamma ):=\{\gamma (t):t\in [a,b]\}$

heißt Spur der Kurve.

Eigenschaften von Kurven

• Eine Weg $\gamma :[a,b]\to \mathbb {C}$ heißt differenzierbar, wenn $\gamma {\,}'(t)$ für alle $t\in [a,b]$ existiert
• Eine für die Theorie der Kurvenintegrale besonders wichtige Eigenschaft ist die Rektifizierbarkeit einer Kurve. Rektifizierbare Kurven besitzen eine endliche Länge und man kann das Wegintegral darüber berechnen (Gegenbeispiel: Koch-Kurve, die keine endliche Länge besitzt, aber einen endlichen Flächeninhalt einschließt als geschlossener Weg.

Definition - Spur eine Kette

Die Spur einer Kette $\Gamma$ ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven $\gamma _{i}$, also

$\mathrm {Spur} (\Gamma ):=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {Spur} (\gamma _{i})$

Definition: Graph eines Weges

Die Spur eines Weges $\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ in $U\subset \mathbb {C}$ ist das Bild der Funktion $\gamma$.

$\mathrm {Graph} (\gamma ):=\{(t,z)\in [a,b]\times \mathbb {C} \ |\ z=\gamma (t)\}$

Bemerkung - Graph eines Weges

Der Graph eine Weges kann man als Teilmenge von $\mathbb {R} ^{3}$ plotten:

$\mathrm {Graph} _{\mathbb {R} }(\gamma ):=\{(t,x,y)\in [a,b]\times \mathbb {C} \ |\ x+iy=\gamma (t)\}$

Definition - Graph einer Kette

Der Graph einer Kette $\Gamma$ ist die Vereinigung der Graphen von den einzelnen Wegen $\gamma _{i}$, also

$\mathrm {Graph} (\Gamma ):=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {Graph} (\gamma _{i})$

Aufgabe - Plotten des Graphen und der Spur

• Plotten Sie mit Maxima oder CAS4Wiki die Spur des Weges im $\mathbb {R} ^{2}$:

${\begin{array}{rrcl}\gamma :&[0,6\pi ]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma (t)=r\cdot e^{i\cdot t}\end{array}}$

• Plotten Sie mit Maxima oder CAS4Wiki die den Graph des Weges im $\mathbb {R} ^{3}$.

Siehe auch

• Kette / Zyklus

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