Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen

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In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können.

Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe[Bearbeiten]

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

  • mit

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt .

Definition von Konstanten[Bearbeiten]

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

Umformung in eine Laurent-Reihe[Bearbeiten]

Das Residuum , da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet).

Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner[Bearbeiten]

Definition der Funktion g[Bearbeiten]

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

  • mit

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt .

Definition von Konstanten[Bearbeiten]

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

Umformung in eine Laurent-Reihe[Bearbeiten]

Das Residuum .

Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil[Bearbeiten]

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

  • mit

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt .

Definition von Konstanten[Bearbeiten]

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1[Bearbeiten]

Das Residuum .

Umformung in eine Laurent-Reihe mit [Bearbeiten]

Als Residuum für erhält man

Siehe auch[Bearbeiten]