Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen

Einleitung

In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können.

Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

• $f:G\to \mathbb {C}$ mit
• $G:=\mathbb {C} \setminus \{-a\},a\in \mathbb {C}$
• $f(z):={\frac {1}{3\cdot (z-z_{o})\cdot (a+z)}}$

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt $z_{o}\in \mathbb {C}$.

Definition von Konstanten

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

• $b:=-a$
• $c:=b-z_{o}=-a-z_{o}$
• $c_{n}:={\frac {1}{(b-z_{o})^{n+1}}}={\frac {1}{(-z_{o}-a)^{n+1}}}$
• $q:={\frac {z-z_{0}}{c}}$

Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe

Sei $z_{o}\not =-a$, dann gilt:

${\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{a+z}}&=\displaystyle -{\frac {1}{b-z}}\ \ (b:=-a)\\&=\displaystyle -{\frac {1}{b\underbrace {-z_{o}+z_{o}} _{=0}-z}}=-{\frac {1}{(b-z_{o})-(z-z_{o})}}\\&=\displaystyle -{\frac {1}{(\underbrace {b-z_{o}} _{=c})-(z-z_{o})}}=-{\frac {1}{c-(z-z_{o})}}\\&=\displaystyle -{\frac {1}{c}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{o}}{c}}}}=-{\frac {1}{c}}\cdot {\frac {1}{1-\underbrace {\frac {z-z_{o}}{c}} _{:=q}}}\\&=\displaystyle -{\frac {1}{c}}\cdot {\frac {1}{1-q}}=-{\frac {1}{c}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(z-z_{o})^{n}}{c^{(n+1)}}}\\&=\displaystyle -\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(z-z_{o})^{n}}{(z_{o}-a)^{n+1}}}=-\sum _{n=0}^{+\infty }\underbrace {\frac {1}{(-z_{o}-a)^{n+1}}} _{c_{n}:=}\cdot (z-z_{o})^{n}\\&=\displaystyle -\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}\cdot (z-z_{o})^{n}\end{array}}$

Darstellung als Laurent-Reihe

Mit der obigen Darstellung der Potenzreihe und mit $f(z)={\frac {1}{3\cdot (z-z_{o})\cdot (a+z)}}$ erhält man die Laurent-Reihe:

$f(z)=-{\frac {1}{3\cdot (z-z_{o})}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}\cdot (z-z_{o})^{n}=\sum _{n=-1}^{+\infty }-{\frac {c_{n+1}}{3}}\cdot (z-z_{o})^{n}$

Ablesen des Residuums

Das Residuum ist $res_{z_{0}}(f)=-{\frac {c_{o}}{3}}$, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur aus dem einen gesuchten Summanden $-{\frac {c_{o}}{3}}\cdot (z-z_{o})^{-1}$ besteht.

Verschwindender Hauptteil

Wenn alle Koeffizienten im Hauptteil 0 sind (d.h. der Hauptteil verschwindet), lässt sich die Funktion holomorph in $z_{o}$ fortsetzen (siehe auch Riemannscher Hebbarkeitssatz.

Aufgaben

• Entwickeln Sie die Funktion $g(z):={\frac {1}{a+z}}$ mit $z_{o}\not =-a$ in eine Laurent-Reihe! Warum sind alle Koeffizienten im Hauptteil 0?
• Warum benötigt man für die obige Berechnungen der Larent-Reihe (bzw. Potenzreihe) die Voraussetzung $z_{o}\not =-a$?
• Berechnen Sie die Laurentreihe für $z_{o}=-a$ und geben Sie das Residuum der Laurententwicklung für $f(z):={\frac {1}{a+z}}$ in $z_{o}=-a$ an!

Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner

In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor ${\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}$ mit $z_{o}$ als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor $a+z$ analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen.

Definition der Funktion g

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

• $g:G\to \mathbb {C}$ mit
• $G:=\mathbb {C} \setminus \{-a\},a\in \mathbb {C}$
• $g(z):={\frac {1}{(z-z_{o})^{m}\cdot (a+z)}}$

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt $z_{o}\in \mathbb {C} \setminus \{-a\}$.

Definition von Konstanten

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

• $c:=z_{o}-a$
• $c_{n}:={\frac {1}{(b+z_{o})^{n+1}}}={\frac {1}{(z_{o}-a)^{n+1}}}$
• $q:={\frac {z-z_{o}}{c}}={\frac {z-z_{o}}{z_{o}-a}}$

Umformung in eine Laurent-Reihe

${\begin{array}{rl}\displaystyle g(z)&=\displaystyle {\frac {1}{(z-z_{o})^{m}\cdot (a+z)}}={\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}\cdot {\frac {1}{a+z}}\ \ (c:=z_{o}-a)\\&=\displaystyle -{\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}\cdot {\frac {1}{z_{o}-a}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{o}}{z_{o}-a}}}}=-{\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}\cdot {\frac {1}{c}}\cdot {\frac {1}{1-q}}\\&=\displaystyle -{\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}\cdot {\frac {1}{c}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(z-z_{o})^{n}}{c^{n+1}}}\\&=\displaystyle -{\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(z-z_{o})^{n}}{(z_{o}-a)^{n+1}}}\\&=\displaystyle -{\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }\underbrace {\frac {1}{(z_{o}-a)^{n+1}}} _{c_{n}:=}\cdot (z-z_{o})^{n}\\&=\displaystyle -{\frac {1}{(z-z_{o})^{m}}}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}\cdot (z-z_{o})^{n}\\&=\displaystyle -\sum _{n=-m}^{+\infty }c_{n+m}\cdot (z-z_{o})^{n}\\\end{array}}$

Das Residuum $res_{z_{0}}(g)=c_{-1+m}={\frac {1}{(b-z_{o})^{-1+m+1}}}={\frac {1}{(b-z_{o})^{m}}}={\frac {1}{(-z_{o}-a)^{m}}}$.

Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

• $h:G\to \mathbb {C}$ mit
• $G:=\mathbb {C} \setminus \{-a\},a\in \mathbb {C} \setminus \{-a\}$
• $h(z):={\frac {(z-z_{0})^{m}}{z+a}}$

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt $z_{o}\in \mathbb {C} \setminus \{-a\}$.

Definition von Konstanten

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

• $b:=-z_{0}-a$
• $c_{n}:=b^{n}$
• $q:={\frac {b}{z-z_{o}}}=-{\frac {z_{0}+a}{z-z_{o}}}$

Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1

${\begin{array}{rl}\displaystyle h(z)&=\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{z+a}}={\frac {z-z_{0}}{z\underbrace {-z_{o}+z_{o}} _{=0}+a}}\\&=\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{(z-z_{o})-\underbrace {(-z_{o}-a)} _{=b}}}={\frac {z-z_{0}}{(z-z_{o})-b}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {b}{z-z_{0}}}}}={\frac {1}{1-\underbrace {\frac {b}{z-z_{o}}} _{:=q}}}\\&=\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {b^{n}}{(z-z_{o})^{n}}}\\&=\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }b^{n}\cdot (z-z_{o})^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{0}c_{-n}\cdot (z-z_{o})^{n}\end{array}}$

Das Residuum $res_{z_{0}}(h)=c_{1}=b^{1}=-z_{o}-a$.

Umformung in eine Laurent-Reihe mit $m>1$

${\begin{array}{rl}\displaystyle h(z)&=\displaystyle {\frac {(z-z_{0})^{m}}{z+a}}={\frac {(z-z_{0})^{m}}{z\underbrace {-z_{o}+z_{o}} _{=0}+a}}\\&=\displaystyle {\frac {(z-z_{0})^{m}}{(z-z_{o})-\underbrace {(-z_{o}-a)} _{=b}}}={\frac {(z-z_{0})^{m}}{(z-z_{o})-b}}\\&=\displaystyle {\frac {(z-z_{0})^{m-1}}{1-{\frac {b}{z-z_{0}}}}}={\frac {(z-z_{0})^{m-1}}{1-\underbrace {\frac {b}{z-z_{o}}} _{:=q}}}\\&=(z-z_{0})^{m-1}\cdot \displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=(z-z_{0})^{m-1}\cdot \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {b^{n}}{(z-z_{o})^{n}}}\\&=(z-z_{0})^{m-1}\cdot \displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }b^{n}\cdot (z-z_{o})^{-n}=(z-z_{0})^{m-1}\cdot \sum _{n=-\infty }^{0}c_{-n}\cdot (z-z_{o})^{n}\\&=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{0}c_{-n}\cdot (z-z_{o})^{n+m-1}=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{m-1}c_{m-1-n}\cdot (z-z_{o})^{n}\end{array}}$

Als Residuum für $n=-1$ erhält man $res_{z_{0}}(h)=c_{m-1-(-1)}=c_{m}=b^{m}=(-z_{o}-a)^{m}$

Siehe auch

• Satz über die Entwicklung in Laurentreihen