Kurs:Funktionentheorie/Residuum

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Definition[Bearbeiten]

Es sei ein Gebiet, und eine Abbildung bis auf isolierte Singularität holomorph, d.h. ist holomorph. Ist eine isolierte Singularität von mit , so definiert man das Residuum als:

.

Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung[Bearbeiten]

Stellt man um eine isolierte Singularität als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit als Laurent-Entwicklung von um gilt:

.

Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe nur die eine Singularität enthält, d.h. .

Damit kann man das Residuum aus der Laurentwicklung von um an -1-ten Koeffizienten ablesen.

Namensgebung[Bearbeiten]

Das Residuum (von lat. residuere - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg mit über den Kreisrand um gilt:

gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt.

Berechnung für Pole[Bearbeiten]

Ist ein Pol der Ordnung von , so hat die Laurent-Entwicklung von um die Form

mit .

Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation[Bearbeiten]

Multiplizieren wir mit , so erhalten wir

Das Residuum ist nun als Koeffizienten von in der Potenzreihe der Funktion zu finden.

Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation[Bearbeiten]

Durch -faches Differenzieren verschwinden die ersten Summanden der Reihe vom Exponent bis zum Exponenten . Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor und man erhält:


Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor [Bearbeiten]

Durch Indexverschiebung erhält man:

Durch einen Grenzwertprozess verschwinden alle Summanden mit und man erhält:

Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert berechnen:

Aufgaben für Studierende[Bearbeiten]

  • Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index mit bei der Integration das Integral
ergeben.
  • Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen?
  • Gegeben sei die Funktion mit . Berechnen Sie das Residuum mit  !

Siehe auch[Bearbeiten]

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