Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen

Einführung

Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da $\mathbb {C}$ keine vollständige/totale Ordnung besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen.

Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI

Sei $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C}$ stückweise stetig mit $f_{1}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ , $f_{2}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und $f=f_{1}+i\cdot f_{2}$ , dann gilt:

\left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|\leq \int _{a}^{b}|f_{1}(t)|\,dt+\int _{a}^{b}|f_{2}(t)|\,dt

Aufgabe - UG-RI

Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung.

Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI

Sei $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C}$ stückweise stetig, dann gilt:^[1]

\left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt

Beweis - UG-BI

Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit:

(BI-1) $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=0$
(BI-2) $\int _{a}^{b}f(t)\,dt\not =0$

Fall - (BI-1)

Mit $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=0$ folgt $\left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|=0$ . Da $|f(t)|\geq 0$ folgt $\int _{a}^{b}|f(t)|\,dt\geq 0$ und man erhält:

\left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|=0\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt

Fall - (BI-2)

Das Integral $\beta =\int _{a}^{b}f(t)\,dt\in \mathbb {C}$ ist eine komplexe Zahl mit $\beta \not =0$ , für die gilt mit $|\beta |={\sqrt {\beta \cdot {\overline {\beta }}}}$ :

|\beta |={\frac {|\beta |^{2}}{|\beta |}}={\frac {\beta \cdot {\overline {\beta }}}{|\beta |}}=\underbrace {\frac {\overline {\beta }}{|\beta |}} _{\alpha :=}\cdot \beta =\alpha \cdot \beta

Fall - (BI-2) - Schritt 1

Mit $\beta \not =0$ erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals:

|\beta |=\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)\,dt

Fall - (BI-2) - Schritt 3

Sei $g:=\alpha \cdot f$ und $g:[a,b]\rightarrow \mathbb {C}$ stückweise stetig mit $g_{1}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ , $g_{2}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und $g=g_{1}+i\cdot g_{2}$ , dann gilt mit der Linearität des Integrals:

{\begin{array}{rcl}{\mathfrak {Re}}{\bigg (}\int _{a}^{b}g(t)\,dt{\bigg )}&=&{\mathfrak {Re}}{\bigg (}\underbrace {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }+i\cdot \underbrace {\int _{a}^{b}g_{2}(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }{\bigg )}\\&=&{\mathfrak {Re}}{\bigg (}\underbrace {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }{\bigg )}=\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\\&=&\int _{a}^{b}{\mathfrak {Re}}(g_{1}(t))\,dt\\\end{array}}

Fall - (BI-2) - Schritt 4

Weil $|\beta |=\int _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)\,dt\in \mathbb {R}$ gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil:

|\beta |={\mathfrak {Re}}{\bigg (}\underbrace {\int _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }{\bigg )}=\int _{a}^{b}\underbrace {{\mathfrak {Re}}\left(\alpha \cdot f(t)\right)} _{\in \mathbb {R} }\,dt

Fall - (BI-2) - Schritt 5

Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl $z$

{\mathfrak {Re}}(z)=z_{1}\leq |z_{1}|={\sqrt {z_{1}^{2}}}\leq {\sqrt {z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}}=|z|

für $z=z_{1}+i\cdot z_{2}$ wird nun auf den Integranden des obigen Integrals $\underbrace {{\mathfrak {Re}}\left(\alpha \cdot f(t)\right)} _{\in \mathbb {R} }$ angewendet.

Fall - (BI-2) - Schritt 6

Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals

|\beta |=\int _{a}^{b}{\mathfrak {Re}}\left(\alpha \cdot f(t)\right)\,dt\leq \int _{a}^{b}\left|\alpha \cdot f(t)\right|\,dt=|\alpha |\cdot \int _{a}^{b}\left|f(t)\right|\,dt

Fall - (BI-2) - Schritt 7

Da $|\alpha |=\left|{\frac {\overline {\beta }}{|\beta |}}\right|={\frac {|{\overline {\beta }}|}{|\beta |}}=1$ gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung:

\left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|=\alpha \cdot \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt\leq |\alpha |\cdot \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt=\int _{a}^{b}|f(t)|\,dt

q.e.d.

Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswegen

Sei $\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {C}$ ein Integrationsweg und $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ auf der Spur von $\gamma$ stetige Funktion ( $Spur(\gamma ):=\{\gamma (t)\,:\,t\in [a,b]\}\subset U$ ). Dann gilt:

\left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq \max _{z\in Spur(\gamma )}|f(z)|\cdot {\mathcal {L}}(\gamma )

Dabei ist ${\mathcal {L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt$ die Länge des Integrals.

Beweis

Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch $\left|f(z)\,dz\right|\leq \max _{z\in Spur(\gamma )}|f(z)|$ und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man.