Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der Kurvenintegrale. Sie sind diejenigen Kurven, die als Integrationsbereich auftreten können.

Definition[Bearbeiten]

Sei eine stetige Kurve. Sie heißt rektifizierbar, wenn ihre Länge

endlich ist, heißt Länge von .

Beispiele[Bearbeiten]

  • Ist stetig differenzierbar, so ist rektifizierbar. Seien nämlich , dann gibt es nach dem Mittelwertsatz so, dass
    Die rechte Seite obiger Gleichung ist eine Riemannsche Summe für , also ist
    da als stetige Funktion auf dem kompakten Intervall beschränkt ist.
  • Allgemeiner sind stückweise -Kurven stets rektifizierbar, man wende obige Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an.
  • Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte ,
    Zunächst ist stetig und auf jedem Intervall sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge
    Für konvergiert dies gegen
    also ist nicht rektifizierbar.

Siehe auch[Bearbeiten]