Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve

Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der Kurvenintegrale. Sie sind diejenigen Kurven, die als Integrationsbereich auftreten können.

Definition

Sei $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C}$ eine stetige Kurve. Sie heißt rektifizierbar, wenn ihre Länge

${\mathcal {L}}(\gamma ):=\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|\ {\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b\right\}$

endlich ist, ${\mathcal {L}}(\gamma )$ heißt Länge von $\gamma$.

Beispiele

• Ist $\gamma$ stetig differenzierbar, so ist $\gamma$ rektifizierbar. Seien nämlich $a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b$, dann gibt es nach dem Mittelwertsatz $\tau _{i}\in (t_{i-1},t_{i})$ so, dass $\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|=\sum _{i=1}^{n}|{\gamma '(\tau _{i})}|(t_{i}-t_{i-1})$Die rechte Seite obiger Gleichung ist eine Riemannsche Summe für $\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt$, also ist $L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt<\infty$da $\gamma '$ als stetige Funktion auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ beschränkt ist.
• Allgemeiner sind stückweise $C^{1}$-Kurven stets rektifizierbar, man wende obige Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an.
• Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte $\gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C}$, $t\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}0&t=0\\t+it\cos t^{-1}&t>0\end{array}}\right.$Zunächst ist $\gamma$ stetig und auf jedem Intervall $[\epsilon ,1]$ sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge ${\mathcal {L}}(\gamma |_{[\epsilon ,1]})=\int _{\epsilon }^{1}\left|1-{\frac {i}{t}}\sin t^{-1}\right|\,dt.$Für $\epsilon >0$ konvergiert dies gegen $\int _{0}^{1}\left(1+{\frac {1}{t^{2}}}\sin ^{2}t^{-1}\right)^{1/2}\,dt=\infty$also ist $\gamma$ nicht rektifizierbar.

Siehe auch

• Lemma von Goursat