Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der Kurvenintegrale . Sie sind diejenigen Kurven, die als Integrationsbereich auftreten können.
Sei
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }
Kurve . Sie heißt rektifizierbar , wenn ihre Länge
L
(
γ
)
:=
sup
{
∑
i
=
1
n
|
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
|
|
n
∈
N
,
a
≤
t
0
<
…
<
t
n
≤
b
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma ):=\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|\ {\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b\right\}}
endlich ist,
L
(
γ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma )}
Länge von
γ
{\displaystyle \gamma }
Ist
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
{\displaystyle \gamma }
a
≤
t
0
<
…
<
t
n
≤
b
{\displaystyle a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b}
τ
i
∈
(
t
i
−
1
,
t
i
)
{\displaystyle \tau _{i}\in (t_{i-1},t_{i})}
∑
i
=
1
n
|
γ
(
t
i
)
−
γ
(
t
i
−
1
)
|
=
∑
i
=
1
n
|
γ
′
(
τ
i
)
|
(
t
i
−
t
i
−
1
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|=\sum _{i=1}^{n}|{\gamma '(\tau _{i})}|(t_{i}-t_{i-1})}
∫
a
b
|
γ
′
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt}
L
(
γ
)
=
∫
a
b
|
γ
′
(
t
)
|
d
t
<
∞
{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt<\infty }
γ
′
{\displaystyle \gamma '}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Allgemeiner sind stückweise
C
1
{\displaystyle C^{1}}
Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte
γ
:
[
0
,
1
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }
t
↦
{
0
t
=
0
t
+
i
t
cos
t
−
1
t
>
0
{\displaystyle t\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}0&t=0\\t+it\cos t^{-1}&t>0\end{array}}\right.}
γ
{\displaystyle \gamma }
[
ϵ
,
1
]
{\displaystyle [\epsilon ,1]}
L
(
γ
|
[
ϵ
,
1
]
)
=
∫
ϵ
1
|
1
−
i
t
sin
t
−
1
|
d
t
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma |_{[\epsilon ,1]})=\int _{\epsilon }^{1}\left|1-{\frac {i}{t}}\sin t^{-1}\right|\,dt.}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
∫
0
1
(
1
+
1
t
2
sin
2
t
−
1
)
1
/
2
d
t
=
∞
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left(1+{\frac {1}{t^{2}}}\sin ^{2}t^{-1}\right)^{1/2}\,dt=\infty }
γ
{\displaystyle \gamma }
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e085dcf244196598d1b9b015bdbfbe624800679)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c94e0dd3b97883a3c7cc6686c520b2d6684302)
![{\displaystyle [\epsilon ,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ca54432d74862cc2b203a77a9967a693091ceb)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma |_{[\epsilon ,1]})=\int _{\epsilon }^{1}\left|1-{\frac {i}{t}}\sin t^{-1}\right|\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38f28e768dc831774c3af1d25edbb38d01303cd)
