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Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 23/latex

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\setcounter{section}{23}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \definitionsverweis {geschlossene}{}{} \definitionsverweis {stetige Wege}{}{} \mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {} in
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{P\}}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ \gamma_1 \gamma_2 } ( P ) }
{ =} { \operatorname{ind}_{ \gamma_1 } ( P ) + \operatorname{ind}_{ \gamma_2 } ( P ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(t) }
{ = }{ P+e^{ 2 \pi { \mathrm i} t } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} von $P$. Zeige, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \in }{ U { \left( P,1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Windungszahl}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ \delta } ( Q ) }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {WindingnumberFree.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { WindingnumberFree.svg } {} {Ico83} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Bestimme die \definitionsverweis {Windungszahl}{}{} auf den Teilgebieten des gezeigten Weges \zusatzklammer {der Weg verlaufe unten rum nach rechts} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und seien \maabb {f,g} {G} { {\mathbb C} } {} nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{.} Es sei $\gamma$ ein \definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{} in
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{0\}}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ (fg) \circ \gamma } ( 0 ) }
{ =} { \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) + \operatorname{ind}_{ g \circ \gamma } ( 0 ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabb {f} {U} { {\mathbb C} } {} eine nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{,} die wir als Funktion \maabb {} {U} {U } {} auffassen. Es sei $\delta$ die \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} um den Nullpunkt und sei
\mathl{\operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( 0 )}{} die \definitionsverweis {Windungszahl}{}{} von
\mathl{f \circ \delta}{} um den Nullpunkt. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{} \maabbdisp {\pi_1(f)} { \pi_1(U) \cong \Z } { \pi_1(U) \cong \Z } {,} durch $n \mapsto n \cdot \operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( 0 )$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ = }{ z^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} aufgefasst als Funktion \maabbele {} {U} {U } {z} {z^k } {.} Es sei $\delta$ die \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} um den Nullpunkt. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( 0 ) }
{ =} { k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{,} \maabb {f} {G} { {\mathbb C} } {} eine nichtkontante \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P) }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Kreisscheibenumgebung, in der $P$ der einzige Urbildpunkt von $Q$ ist, und sei $\delta$ eine \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} von $P$ innerhalb von $U$. Es sei
\mathl{\operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( Q )}{} die \definitionsverweis {Windungszahl}{}{} von
\mathl{f \circ \delta}{} um $Q$. Zeige, dass der zugehörige Homomorphismus der \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{} \maabbdisp {\pi_1(f)} { \pi_1( U \setminus \{P\} ) \cong \Z } { \pi_1( {\mathbb C} \setminus \{Q\} ) \cong \Z } {,} durch $n \mapsto n \cdot \operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( Q )$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{,} \maabb {f} {G} { {\mathbb C} } {} eine nichtkontante \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P) }
{ = }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Kreisscheibenumgebung, in der $P$ der einzige Urbildpunkt von $Q$ ist, und sei $\delta$ eine \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} von $P$ innerhalb von $U$. Zeige, dass
\mathl{\operatorname{ind}_{ f \circ \delta } ( Q )}{} mit dem \definitionsverweis {lokalen Exponenten}{}{} von $f$ in $P$ übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma$ zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ z dz }{ (z-1)(z+1) } }}{} zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } + e^{3 \pi { \mathrm i} t} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mathl{[0,1]}{} mit Hilfe des Residuensatzes.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} $f$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ 3-{ \mathrm i}, -5+ { \mathrm i}, 2-4 { \mathrm i} \}}{} derart, dass das Residuentupel
\mathl{\left( \operatorname{Res}_{ 3-{ \mathrm i} } \left( f \right) , \, \operatorname{Res}_{ -5+ { \mathrm i} } \left( f \right) , \, \operatorname{Res}_{ 2-4{ \mathrm i} } \left( f \right) \right)}{} gleich
\mathl{(-5\pi, 3+5{ \mathrm i} ,-2-e { \mathrm i})}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} $f$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ { \mathrm i}, -2, 3+4 { \mathrm i} \}}{} derart, dass das Windungszahltupel
\mathl{\left( \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_1 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_2 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_3 } ( 0 ) \right)}{} gleich
\mathl{(-5,4,-3)}{} ist, wobei
\mathl{\delta_j}{} eine \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} des $j$-ten Punktes ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei \maabb {f} {U} { {\mathbb C} } {} eine nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass \maabbeledisp {} { \pi_1(U,P) } { \Z } {\gamma} { \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist, und dass dieser einen Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {\Theta_f} { H_1(U, \Z) } { \Z } {\gamma} { \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) } {,} definiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Abbildung \maabbeledisp {\Theta} { \Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times} } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(G,\Z), \Z \right) } } {f} { { \left( \gamma \mapsto \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) \right) } } {,} ist ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} }{Wenn $f$ die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ \exp h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer holomorphen Funktion \maabb {h} {U} { {\mathbb C} } {} besitzt, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Theta_f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Die Abbildung aus (1) induziert eine Abbildung \maabbeledisp {\Theta} { \Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times}/ \Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times}_\text{exp} } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(G,\Z), \Z \right) } } {f} { { \left( \gamma \mapsto \operatorname{ind}_{ f \circ \gamma } ( 0 ) \right) } } {,} wobei
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} ) ^{\times}_\text{exp}}{} die exponentiellen Einheiten bezeichnet. }{Die Abbildung aus (3) ist injektiv. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {Komplex}{}{}
\mathdisp {0 \stackrel{}{\longrightarrow} \Z 2 \pi { \mathrm i} \stackrel{}{\longrightarrow} \Gamma (U, {\mathcal O} ) \stackrel{\exp \left( - \right)}{\longrightarrow} \Gamma (U, {\mathcal O} )^{\times} \stackrel{\Theta}{\longrightarrow} \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), \Z \right) } \stackrel{}{\longrightarrow} 0} { }
vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist \zusatzklammer {das ist an der Homomorphismenstelle schwierig} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Gebiete}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z 2 \pi { \mathrm i} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (V, {\mathcal O} ) & \stackrel{ \exp \left( - \right) }{\longrightarrow} & \Gamma (V, {\mathcal O} )^{\times} & \stackrel{ \Theta }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(V,\Z), \Z \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z 2 \pi { \mathrm i} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O} ) & \stackrel{ \exp \left( - \right) }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O} )^{\times} & \stackrel{ \Theta }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), \Z \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {einfach zusammenhängendes}{}{} \definitionsverweis {Gebiet}{}{,} es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ G \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass man jede nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} \maabb {f} {U} { {\mathbb C} } {} in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (z) }
{ =} { { \left( \exp \left( h(z) \right) \right) } \cdot (z-P_1)^{k_1} \cdots (z-P_n)^{k_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer holomorphen Funktion $h$ auf $U$ und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_i }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {Komplex}{}{}
\mathdisp {0 \stackrel{}{\longrightarrow} {\mathbb C} \stackrel{}{\longrightarrow} \Gamma (U, {\mathcal O} ) \stackrel{d}{\longrightarrow} \Gamma (U, \Omega ) \stackrel{\text{Ev}}{\longrightarrow} \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) } \stackrel{}{\longrightarrow} 0} { }
vorliegt, und zeige, dass dieser exakt ist \zusatzklammer {das ist an der Homomorphismenstelle schwierig} {} {}, wobei die Evaluationsabbildung eine \definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{} $\omega$ auf die Abbildung
\mathl{\gamma \mapsto \int_\gamma \omega}{} abbildet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {einfach zusammenhängendes}{}{} \definitionsverweis {Gebiet}{}{,} es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ G \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}\Gamma (U, \Omega ) & \stackrel{ \text{Ev} }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) } & \\ & \!\!\! \!\! \operatorname{Res}_{ P_i } \left( - \right) \searrow & \downarrow \rho \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C}^n & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei $\rho$ einen Homomorphismus \maabb {\varphi} {H_1(U,\Z) } { {\mathbb C} } {} auf das Tupel
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \left( \varphi(\gamma_1) , \, \ldots , \, \varphi(\gamma_n) \right)}{} abbildet, wobei $\gamma_i$ eine \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} von $P_i$ mit hinreichend kleinem Radius ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,V }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Gebiete}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (V, {\mathcal O} ) & \stackrel{ d }{\longrightarrow} & \Gamma (V, \Omega ) & \stackrel{ \text{Ev} }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(V,\Z), {\mathbb C} \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \varphi^* \!\!\!\!\! & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & {\mathbb C} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O} ) & \stackrel{ d }{\longrightarrow} & \Gamma (U, \Omega ) & \stackrel{ \text{Ev} }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
vorliegt. In den Vertikalen steht der Rückzug von Funktionen und von Differentialformen und hinten die duale Abbildung zur Homologieabbildung.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Winding curve.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Winding curve.svg } {} {Lorelami} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Bestimme die \definitionsverweis {Windungszahl}{}{} auf den Teilgebieten des gezeigten Weges.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} $\int_\gamma$ zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z(z-1)(z+1) } }}{} zum Weg
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(t) }
{ = }{ 3 e^{2 \pi { \mathrm i} t} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mathl{[0,1]}{} mit Hilfe des Residuensatzes.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} $f$ auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ 2- { \mathrm i}, 5, 3+4 { \mathrm i} ,2 { \mathrm i} \}}{} derart, dass das Windungszahltupel
\mathl{\left( \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_1 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_2 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_3 } ( 0 ) , \, \operatorname{ind}_{ f \circ \delta_4 } ( 0 ) \right)}{} gleich
\mathl{(2,0,-4,3)}{} ist, wobei
\mathl{\delta_j}{} eine \definitionsverweis {Standardumrundung}{}{} des $j$-ten Punktes ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {einfach zusammenhängendes}{}{} \definitionsverweis {Gebiet}{}{,} es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ G \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} es bezeichne
\mathl{H(U,\Omega)}{} den Vektorraum aller \definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{} auf $U$ und
\mathl{H(U,\Omega)_{\text{exakt} }}{} den Untervektorraum der \definitionsverweis {exakten}{}{} Differentialformen. Zeige, dass die Abbildung \zusatzklammer {vergleiche Lemma 22.11 und Aufgabe 22.17} {} {} \maabbdisp {\Psi} {H(U,\Omega)/H(U,\Omega)_{\text{exakt} } } { \operatorname{Hom} { \left( H_1(U,\Z), {\mathbb C} \right) } } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Verwende dabei, dass die Homologiegruppe gleich $\Z^n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass Korollar 23.10 und Korollar 23.11 auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht gelten.

}
{} {}