Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/16/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Punkte 3 3 1 1 3 2 6 2 4 2 4 3 4 3 2 2 2 3 1 5 2 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
  3. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
  4. Der -Exponent von einer ganzen Zahl zu einer Primzahl .
  5. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen und .
  6. Eine fallende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Integritätseigenschaft für natürliche Zahlen.
  2. Das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.
  3. Der Satz über die Größenverhältnisse von Potenzen zu in einem angeordneten Körper .


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f w
f w w
f f w


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Aufgabe * (2 Punkte)

Ed soll ausrechnen. Er rechnet folgendermaßen:

die Antwort ist also .“

Wie rechnet er ?


Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien und es sei die Zahl mit Neunen und die Zahl mit Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn von geteilt wird.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl , die ein Vielfaches von ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Bestimme für .
  2. Was ist die kleinste Zahl mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstablelle, in der alle Produkte mit stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wikt puzzle favicon.svg

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige


Aufgabe * (3 Punkte)

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten und der Zusammenhang

besteht.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf den Bakterien befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm Quadratzentimeter einnimmt.

  1. Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
  2. Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen , die das Gleichungssystem

erfüllen.