Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	1	2	3	2	1	2	4	2	2	1	3	2	8	3	5	3	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Differenzmenge ${}A\setminus B$ zu zwei Mengen ${}A,B$.
2. Eine konstante Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$.
3. Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl ${}a$ eine natürliche Zahl ${}b$ teilt
4. Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$.
5. Die Addition von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$.
6. Ein archimedisch angeordneter Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.

Aufgabe * (3 Punkte)

Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. ${}5$ Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, ${}3$ Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, ${}4$ Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.

1. Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt (im Zehnersystem) ${}67$ Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
2. Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt ${}2114$ Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
3. Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

$\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge ${}20$ cm und mit einem Durchmesser von ${}3$ cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe ${}2,5$ cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm.

1. Wer verwendet mehr Butter?
2. Wie viel Butter verwendet Lucy?
3. Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine ${}250$ Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?

Aufgabe * (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Aufgabe (2 Punkte)

Auf dem Kindergeburtstag steht zu Beginn eine volle Schale mit Gummibärchen auf dem Tisch, nach kurzer Zeit ist sie leer, da die Kinder die Gummibärchen gegessen haben. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?

Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.

Aufgabe (2 Punkte)

Welche mathematische Konstruktion und welcher Sachverhalt wird durch das Bild illustriert?

Aufgabe * (1 Punkt)

Frau Maier-Sengupta nutzt ihr Auto nur für die beiden folgenden Aktivitäten.

1. Sie fährt jeden Werktag mit dem Auto zum Bäcker, eine Strecke ist ein halber Kilometer.
2. Sie fährt einmal im Jahr mit dem Auto zum Geburtstag ihrer Nichte, eine Strecke ist 160 Kilometer.

Frau Maier-Sengupta möchte in Zukunft weniger Auto fahren, und möchte deshalb eine der genannten Aktivitäten zukünftig autofrei durchzuführen. Auf welchen Autoeinsatz sollte sie verzichten, um möglichst viele Autokilometer einzusparen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n\neq 0$ eine natürliche Zahl und ${}t$ ein Teiler von ${}n$. Zeige, dass dann ${}t\leq n$ gilt.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},$

wobei bei ${}k>n$ der Binomialkoeffizient als ${}0$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

1. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
2. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
3. Bestimme ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}$ und ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}$.
4. Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe * (2 Punkte)

Jemand bemerkt zur Division mit Rest: „Wegen ${}n=dq+r=qd+r$ kann man aus dem Rest der Divison ${}n$ durch ${}d$ direkt den Rest der Divison ${}n$ durch ${}q$ ablesen“. Was ist davon zu halten?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste Zahl ${}n$ derart, dass in der Primfaktorzerlegung von ${}n!$ die ${}17$ mit Exponenten ${}2$ vorkommt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Betrachte im ${}13$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl

$3CB.$

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl ${}b$ die Überträge stets ${}<b$ sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Sie stehen an einem Klippenrand. Jemand sagt: „Innerhalb der ganzen Zahlen ist der Vorgänger des Nachfolgers und der Nachfolger des Vorgängers das Element selbst. Es ist also beispielsweise egal, ob ich zuerst einen Schritt nach vorne und dann nach hinten mache oder umgekehrt. Machen Sie also ruhig einen Schritt nach vorne.“ Klären Sie diese paradoxe Situation.

Aufgabe * (8 (1+1+2+1+1+1+1) Punkte)

Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: „Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese ${}-1$, mit der Eigenschaft, dass sie von ${}1$ verschieden ist, und deren Quadrat

${}(-1)^{2}=1\,$

ist. Die ${}-1$ ist also eine Quadratwurzel der ${}1$. Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl ${}n\geq 3$ eine neue Zahl, nennen wir sie mal ${}z_{n}$, geben, die nicht ${}1$ ist, die aber auch

${}(z_{n})^{n}=1\,$

erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn ${}Z_{n}$, ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für ${}n=3$ genauer an.“

1. Berechne

   ${\left(z_{3}\right)}^{17}.$

2. Berechne

   ${\left(5+11z_{3}+8z_{3}^{2}\right)}+{\left(6+8z_{3}+9z_{3}^{2}\right)}.$

3. Berechne

   ${\left(2+5z_{3}+z_{3}^{2}\right)}\cdot {\left(4+3z_{3}+2z_{3}^{2}\right)}.$

4. Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl ${}z_{3}$ in die Ebene einzuzeichnen. Da die ${}-1$ der ${}1$ auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der ${}1$ zur ${}-1$ mit einer ${}180={\frac {360}{2}}$ Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für ${}z_{3}$ von der ${}1$ ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um

   ${}{\frac {360}{3}}=120\,$

   Grad an, und die gleiche Länge wie die ${}1$. Skizziere die Situation. Wo platziert sie ${}z_{3}^{2}$?

5. Bestätige die Gleichung

   ${}x^{3}-1=(x-1){\left(x^{2}+x+1\right)}\,$

   für ein beliebiges ${}x\in \mathbb {Z}$.

6. Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass

   ${}z_{3}^{2}+z_{2}+1=0\,$

   gelten muss. Wie kommt sie darauf?

7. Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für ${}z_{3}$ auch von der Skizze her begründen?

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Aufgabe (3 Punkte)

Es besteht die didaktische Diskussion, ob man in der Schule ausgehend von den natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ zuerst die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und von da aus die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ einführen soll, oder aber, ob man ausgehend von ${}\mathbb {N}$ zuerst die nichtnegativen rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}$ und dann die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ einführen soll. Welche Argumente könnten für den einen Weg, welche für den anderen Weg sprechen?