Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/19/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 3 4 1 3 2 2 2 4 2 1 3 2 8 3 5 3 57



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Differenzmenge zu zwei Mengen .
  2. Eine konstante Abbildung .
  3. Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl eine natürliche Zahl teilt
  4. Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge .
  5. Die Addition von rationalen Zahlen und .
  6. Ein archimedisch angeordneter Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
  2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
  3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.


Aufgabe * (3 Punkte)

Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.

  1. Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt (im Zehnersystem) Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
  2. Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
  3. Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.


Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge cm und mit einem Durchmesser von cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke mm.

  1. Wer verwendet mehr Butter?
  2. Wie viel Butter verwendet Lucy?
  3. Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?


Aufgabe * (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.


Aufgabe (2 Punkte)

Biderketa konbinatoria.svg

Welche mathematische Konstruktion und welcher Sachverhalt wird durch das Bild illustriert?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl und ein Teiler von . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste Zahl derart, dass in der Primfaktorzerlegung von die mit Exponenten vorkommt.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

wobei bei der Binomialkoeffizient als zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

  1. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
  2. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
  3. Bestimme und .
  4. Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Jemand bemerkt zur Division mit Rest: „Wegen kann man aus dem Rest der Divison durch direkt den Rest der Divison durch ablesen“. Was ist davon zu halten?


Aufgabe * (1 Punkt)

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl die Überträge stets sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Sie stehen an einem Klippenrand. Jemand sagt: „Innerhalb der ganzen Zahlen ist der Vorgänger des Nachfolgers und der Nachfolger des Vorgängers das Element selbst. Es ist also beispielsweise egal, ob ich zuerst einen Schritt nach vorne und dann nach hinten mache oder umgekehrt. Machen Sie also ruhig einen Schritt nach vorne.“ Klären Sie diese paradoxe Situation.


Aufgabe * (8 (1+1+2+1+1+1+1) Punkte)

Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: „Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese , mit der Eigenschaft, dass sie von verschieden ist, und deren Quadrat

ist. Die ist also eine Quadratwurzel der . Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl eine neue Zahl, nennen wir sie mal , geben, die nicht ist, die aber auch

erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn , ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für genauer an.“

  1. Berechne
  2. Berechne
  3. Berechne
  4. Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl in die Ebene einzuzeichnen. Da die der auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der zur mit einer Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für von der ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um

    Grad an, und die gleiche Länge wie die . Skizziere die Situation. Wo platziert sie ?

  5. Bestätige die Gleichung

    für ein beliebiges .

  6. Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass

    gelten muss. Wie kommt sie darauf?

  7. Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für auch von der Skizze her begründen?


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

    mit , für die die einzige Lösung ist.

  2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

    mit , für die eine Lösung ist.


Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

  1. Man gebe zu zwei Punkten und die Koordinaten des Mittelpunktes an.
  2. Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
  3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?


Aufgabe (3 Punkte)

Es besteht die didaktische Diskussion, ob man in der Schule ausgehend von den natürlichen Zahlen zuerst die ganzen Zahlen und von da aus die rationalen Zahlen einführen soll, oder aber, ob man ausgehend von zuerst die nichtnegativen rationalen Zahlen und dann die rationalen Zahlen einführen soll. Welche Argumente könnten für den einen Weg, welche für den anderen Weg sprechen?