Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 9 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 11 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die \stichwort {Ordnungsrelation} {} auf den natürlichen Zahlen.
}{Die Menge der \stichwort {ganzen} {} Zahlen.
}{Die Folge der
\stichwort {euklidischen Reste} {}
zu ganzen Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {Körper} {.}
}{Ein \stichwort {Prozent} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
}{Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.
}{Die Menge der
ganzen Zahlen
$\Z$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\N_+$, der $0$ und der Menge
\mathl{{ \left\{ -n \mid n \in \N_+ \right\} }}{,} die die negativen ganzen Zahlen heißen.
}{Man nennt die durch die Anfangsbedingungen
\mathkor {} {r_0= a} {und} {r_1= b} {}
und die mittels
der Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} { q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die Folge der euklidischen Reste.
}{Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\zusatzklammer {genannt Addition und Multiplikation} {} {}
\mathdisp {+: K \times K \longrightarrow K \text{ und } \cdot: K \times K \longrightarrow K} { }
und zwei verschiedene Elemente
\mathl{0,1 \in K}{} gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Axiome der Addition
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a + b) + c = a + (b + c)}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a+b=b+a}{.}
}{$0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a+0=a}{.}
}{Existenz des Negativen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} gibt es ein Element
\mathl{b \in K}{} mit
\mathl{a+b=0}{.}
}
}{Axiome der Multiplikation
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot b=b \cdot a}{.}
}{$1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a \cdot 1=a}{.}
}{Existenz des Inversen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} mit
\mathl{a \neq 0}{} gibt es ein Element
\mathl{c \in K}{} mit
\mathl{a \cdot c=1}{.}
}
}{Distributivgesetz:
Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c)}{.}
}
}{Ein Prozent ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 100 } }}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.}{Der Satz über die Anzahl der Permutationen.}{Der Satz über die Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
endliche Mengen mit
\mathkor {} {m} {bzw.} {n} {}
Elementen. Dann besitzt die Produktmenge
\mathl{M\times N}{} genau
\mathl{m \cdot n}{} Elemente.}{Auf einer endlichen Menge $M$ mit $n$ Elementen gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $M$.}{Zu jeder rationalen Zahl $q$ und jedem
\mathl{k \in \N_+}{} gibt es ein
\mathl{a \in \Z}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ 10^k } }
}
{ \leq} { q
}
{ <} { { \frac{ a+1 }{ 10^k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{
Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {w} }
}
{
\mathl{\neg q}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise durch Induktion für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} k^2
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Induktionsanfang. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kommt links nur der Summand zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor, und dieser ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-1)^0 1^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rechts steht ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-1)^2 { \frac{ 1 \cdot 2 }{ 2 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Induktionsschluss. Die Aussage sei für $n$ bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für
\mathl{n+1}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{k = 1}^{n+1} (-1)^{k-1} k^2
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 + (-1)^n (n+1)^2
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ n(n+1) }{ 2 } } + (-1)^{n+2} (n+1)(n+1)
}
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ -n(n+1) }{ 2 } } + { \frac{ (-1)^{n+2} 2 (n+1)(n+1) }{ 2 } }
}
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ -n(n+1)+ 2(n+1)(n+1) }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ (n+1) (-n+2n+2) }{ 2 } }
}
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ (n+1) (n+2) }{ 2 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Also gilt die Aussage für alle $n$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?
}
{
Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^4
}
{ =} {16
}
{ =} { 4^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die beiden Paare
\mathkor {} {(2,4)} {und} {(4,2)} {}
unter $\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine $k$-elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf $M$?
}
{
Bei einer Verknüpfung wird jedem Paar
\mathl{(x,y) \in M\times M}{} ein Element aus $M$ zugeordnet. Dabei hat man für jedes der $k^2$ Paare $k$ Möglichkeiten. Damit gibt es insgesamt
\mathl{k^{(k^2)}}{} Verknüpfungen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.
}
{
Die beiden Zahlen seien
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n= b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{k}10^{k}} { , }
wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $k$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 + b_0
}
{ < }{10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist oder nicht. Es sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal $k+1$ Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal $k+2$-stellige Zahlen gegeben. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ m+n
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^{k+1} a_i 10^{i} + \sum_{ i = 0}^{k+1} b_i 10^{i}
}
{ =} { a_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} a_i 10^{i} + b_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} b_i 10^{i}
}
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} \right) } 10^{k+1} + \underbrace{ \sum_{ i = 0}^{k} a_i 10^{i} }_{ = m'} + \underbrace{ \sum_{ i = 0}^{k} b_i 10^{i} }_{ = n'}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es seien $c_i,d_i$ die durch den für
\mathkor {} {m} {und} {n} {}
in
Verfahren 15.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für
\mathkor {} {m'} {und} {n'} {}
stimmen damit bis auf eventuell
\mathl{c_{k+1}, c_{k+2}, d_{k+2}}{} überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich $a_k$ und $b_k$ abhängen. Für
\mathl{m' + n'}{} bezeichnen wir mit
\mathl{c_{k+1}'}{} die entsprechende Ziffer, und zwar ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_{k+1}'
}
{ = }{ d_{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich
\mathdisp {\sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i} +c_{k+1}' 10^{k+1}} { . }
Die Gesamtsumme ist somit gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m+n
}
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} \right) } 10^{k+1} +c_{k+1}' 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i}
}
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} +c_{k+1}' \right) } 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i}
}
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} + d_{k+1} \right) } 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i}
}
{ =} { c_{k+2} 10^{k+2}+ c_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 0}^{k+2} c_i 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es seien
\mathl{a,b,c}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a-b
}
{ \geq }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{ b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a-b)-c
}
{ =} {a-(b+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Die Abschätzung ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+c
}
{ \leq} { b + (a-b)
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ((a-b)-c )+ (b+c)
}
{ =} {(( (a-b)-c )+ c )+ b
}
{ =} { (a-b) +b
}
{ =} { a
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit erfüllt $(a-b) -c$ die für
\mathl{a-(b+c)}{} charakteristische Eigenschaft und muss damit übereinstimmen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $7$ und der andere ein Fassungsvermögen von $10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{
Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.
\mathdisp {(0,0),\, (7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.
}
{
Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über $n$ gezeigt. Für
\mathl{n=2}{} liegt eine Primzahl vor. Es sei nun
\mathl{n \geq 3}{} und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {p_1 { \cdots } p_r
}
{ =} {q_1 { \cdots } q_s
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen.
Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl $p_1$ das Produkt rechts teilt. Nach
dem Lemma von Euklid
muss dann $p_1$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass $q_1$ von $p_1$ geteilt wird. Da $q_1$
selbst eine Primzahl ist, folgt, dass
\mathl{p_1=q_1}{} sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_2 { \cdots } p_r
}
{ =} {q_2 { \cdots } q_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Nennen wir diese Zahl $n'$. Da
\mathl{n'<n}{} ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf $n'$ anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1085
}
{ =} { 1 \cdot 806 + 279
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806
}
{ =} { 2 \cdot 279 + 248
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{279
}
{ =} { 1 \cdot 248 +31
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{248
}
{ =} { 8 \cdot 31
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der größte gemeinsame Teiler ist also $31$. Aus den Rechnungen erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806
}
{ =} { 2 \cdot 279 + 248
}
{ =} { 2 ( 248 +31) +248
}
{ =} { 3 \cdot 248 + 2 \cdot 31
}
{ =} { 3 \cdot 8 \cdot 31 + 2 \cdot 31
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { 26 \cdot 31
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1085
}
{ =} { 806 +279
}
{ =} { 26 \cdot 31 + 9 \cdot 31
}
{ =} { 35 \cdot 31
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+1+2+2+2)}
{
Zwei Schwimmer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3 m/s$ \zusatzklammer {das ist besser als der Weltrekord} {} {} und Schwimmer $B$ schwimmt $2 m/s$. \aufzaehlungfuenf{Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen \mathkor {} {0} {und} {100} {} Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt \zusatzklammer {wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden} {} {} entfernt ist. }{Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ \zusatzklammer {und Schwimmer $B$} {} {} nach $30$ Sekunden? }{Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal \zusatzklammer {abgesehen vom Start} {} {?} }{Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer \zusatzklammer {Start mitzählen} {} {?} }{Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$? }
}
{
\aufzaehlungfuenf{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graphzweischwimmer.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Graphzweischwimmer.png } {Mgausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
$\,$
}{Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $A$ $90$ Meter zurückgelegt, er ist also $50$ Meter hin und $40$ Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich $10$ Meter vom Start entfernt. Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $B$ $60$ Meter zurückgelegt, er befindet sich also $40$ Meter vom Start entfernt.
}{Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer $A$ das erste Mal zurückschwimmt und $B$ noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 t
}
{ =} { 50 -3 (t- 16 { \frac{ 2 }{ 3 } } )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5t
}
{ =} {100
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} {20
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Nach $100$ Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt
\zusatzklammer {siehe die Skizze} {} {,}
$A$ hat dabei $300$ Meter zurückgelegt, $B$ nur $200$ Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal
\zusatzklammer {den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht} {} {,}
dies wiederholt sich dreimal und dann muss $A$ noch $100$ Meter schwimmen, wobei er $B$ noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf $17$ Begegnungen.
}{Schwimmer $A$ überrundet Schwimmer $B$ dreimal, nämlich am Startpunkt nach $100 s$, nach $200 s$ und nach $300 s$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es soll Holz unterschiedlicher Länge
\zusatzklammer {ohne Abfall} {} {}
in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen
\zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.}
Für welche Holzlängen ist dies möglich?
}
{
Es sei $\ell$ die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für
\mathl{\ell < 30}{} ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{30
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{40
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{40
}
{ < }{ \ell
}
{ < }{60
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{60
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{80
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man das Stück in zwei
\zusatzklammer {beispielsweise gleichgroße} {} {}
Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{80
}
{ < }{ \ell
}
{ < }{90
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\ell
}
{ \geq} {90
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 s
}
{ \leq} { \ell
}
{ <} { 30 (s+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn man $\ell$ durch $s$ dividiert, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30
}
{ \leq} { { \frac{ \ell }{ s } }
}
{ <} { { \frac{ 30 (s+1) }{ s } }
}
{ =} { 30 { \frac{ (s+1) }{ s } }
}
{ \leq} { 30 { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} {40
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Vergleiche die beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {{ \frac{ n }{ n+1 } }} {und} {{ \frac{ n-1 }{ n } }} {.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ n+1 } }
}
{ \geq} { { \frac{ n-1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da nach dem Überkreuzprinzip und der dritten binomischen Formel gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n^2
}
{ >} {n^2-1
}
{ =} {(n-1)(n+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{11 (5+4+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente aus $K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus $\N$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von
\mathl{u^k}{} gleich
\mathl{{ \left( u^{-1} \right) }^k}{} ist, verwenden.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{m+n}
}
{ =} { a^m \cdot a^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^{m} \right) }^n
}
{ =} { a^{m n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a\cdot b)^n
}
{ =} { a^n \cdot b^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
Für einen negativen Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{-k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach Definition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^m
}
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a^{-1}}{} das inverse Element zu $a$ bezeichnet.
\aufzaehlungdrei{Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{-k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{- \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^m \cdot a^n
}
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^k { \left( a^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^{k + \ell}
}
{ =} { a^{ - (k+\ell) }
}
{ =} { a^{m+n}
}
}
{}{}{,}
wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation $m \in \N$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{- \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als negativ annehmen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^m \cdot a^n
}
{ =} {a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{ \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} { \ell+ r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das Produkt ist gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} {a^{ \ell + r} \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} {a^r a^{\ell} \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} { a^r { \left( a \cdot a^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} { a^r \cdot 1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {a^r
}
{ =} {a^{m-\ell}
}
{ =} {a^{m+n}
}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ < }{ \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ =} { m + s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das Produkt ist gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} {a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^{m+s}
}
{ =} {a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^s
}
{ =} { { \left( a \cdot a^{-1} \right) }^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^s
}
{ =} { 1 \cdot { \left( a^{-1} \right) }^s
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a^{ -s }
}
{ =} {a^{m-\ell}
}
{ =} {a^{m+n}
}
{ } {}
}
{}{.}
}{Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Es seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( a^m \right) }^n
}
{ =} { { \left( { \left( a^m \right) }^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} { { \left( { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{k} \right) }^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} { { \left( { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{k} \right) }^\ell
}
{ =} { { \left( a^{k} \right) }^\ell
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a^{ k \ell}
}
{ =} {a^{ (-m)(-n) }
}
{ =} { a^{mn}
}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von
\mathl{u^k}{} gleich
\mathl{{ \left( u^{-1} \right) }^k}{} ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.
Wenn $m$ nichtnegativ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{- \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
negativ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^m \right) }^n
}
{ =} { { \left( { \left( a^m \right) }^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} { { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{m} \right) }^\ell
}
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^{m \ell }
}
{ =} { a^{ - m \ell }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { a^{ m n }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{- k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
negativ und $n$ nichtnegativ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^m \right) }^n
}
{ =} { { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{k} \right) }^n
}
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^{k n }
}
{ =} { a^{ - k n }
}
{ =} { a^{ m n }
}
}
{}{}{.}
}{Wir müssen nur den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{- \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
negativ behandeln. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (ab)^n
}
{ =} { (ab)^{-\ell}
}
{ =} { { \left( (ab)^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} { { \left( a^{-1} b^{-1} \right) }^\ell
}
{ =} {{ \left( a^{-1} \right) }^\ell \cdot { \left( b^{-1} \right) }^\ell
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { a^{- \ell} b^{- \ell}
}
{ =} {a^n b^n
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.
}
{
Es benötigt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{65 000 000 \cdot 11
}
{ =} { 715 000000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Minuten. Ein Jahr besteht aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{365 \cdot 24 \cdot 60
}
{ =} { 525600
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 715 000 000 }{ 525600 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 150 000 }{ 5256 } }
}
{ \cong} { 1360,35
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Jahre.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Lucy Sonnenschein hat im Juni $80$ Euro ausgegeben, davon $20\,\%$ für Eis, im Juli hat sie $90$ Euro ausgegeben, davon $30\,\%$ für Eis, und im August hat sie $70$ Euro ausgegeben, und zwar hat sie davon $15$ Euro für Eis ausgegeben. Wie viel Prozent ihrer Ausgaben in den drei Sommermonaten gab sie für Eis aus?
}
{
Im Juni hat sie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0{,}2 \cdot 80
}
{ =} { 16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Euro für Eis ausgegeben und im Juli
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0{,}3 \cdot 90
}
{ =} { 27
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für Eis. Insgesamt hat sie also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{16 + 27 +15
}
{ =} { 58
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Euro für Eis ausgegeben. Ihre Gesamtausgaben waren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{80+90 + 70
}
{ =} { 240
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Euro. Somit war der Eisanteil gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 58 }{ 240 } }
}
{ =} { 0{,}241 \overline{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Sie hat also in den Sommermonaten ca. $24{,}17\,\%$ ihrer Ausgaben in Eis investiert.
}