Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 1 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 7 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 9 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 11 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.

}{Die \stichwort {Ordnungsrelation} {} auf den natürlichen Zahlen.

}{Die Menge der \stichwort {ganzen} {} Zahlen.

}{Die Folge der \stichwort {euklidischen Reste} {} zu ganzen Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Ein \stichwort {Körper} {.}

}{Ein \stichwort {Prozent} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. }{Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ \geq} {k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt. }{Die Menge der ganzen Zahlen $\Z$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen $\N_+$, der $0$ und der Menge
\mathl{{ \left\{ -n \mid n \in \N_+ \right\} }}{,} die die negativen ganzen Zahlen heißen. }{Man nennt die durch die Anfangsbedingungen \mathkor {} {r_0= a} {und} {r_1= b} {} und die mittels der Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i} }
{ =} { q_i r_{i+1} + r_{i+2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die Folge der euklidischen Reste. }{Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} \zusatzklammer {genannt Addition und Multiplikation} {} {}
\mathdisp {+: K \times K \longrightarrow K \text{ und } \cdot: K \times K \longrightarrow K} { }
und zwei verschiedene Elemente
\mathl{0,1 \in K}{} gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen. \aufzaehlungdrei{Axiome der Addition \aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a + b) + c = a + (b + c)}{.} }{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a+b=b+a}{.} }{$0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a+0=a}{.} }{Existenz des Negativen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} gibt es ein Element
\mathl{b \in K}{} mit
\mathl{a+b=0}{.} } }{Axiome der Multiplikation \aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}{.} }{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot b=b \cdot a}{.} }{$1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a \cdot 1=a}{.} }{Existenz des Inversen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} mit
\mathl{a \neq 0}{} gibt es ein Element
\mathl{c \in K}{} mit
\mathl{a \cdot c=1}{.} } }{Distributivgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c)}{.} } }{Ein Prozent ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 100 } }}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.}{Der Satz über die Anzahl der Permutationen.}{Der Satz über die Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} endliche Mengen mit \mathkor {} {m} {bzw.} {n} {} Elementen. Dann besitzt die Produktmenge
\mathl{M\times N}{} genau
\mathl{m \cdot n}{} Elemente.}{Auf einer endlichen Menge $M$ mit $n$ Elementen gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $M$.}{Zu jeder rationalen Zahl $q$ und jedem
\mathl{k \in \N_+}{} gibt es ein
\mathl{a \in \Z}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ 10^k } } }
{ \leq} { q }
{ <} { { \frac{ a+1 }{ 10^k } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

}
{

Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {w} }

}
{


\mathl{\neg q}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise durch Induktion für alle
\mathl{n \in \N_+}{} die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} k^2 }
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ n(n+1) }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Induktionsanfang. Für
\mathl{n=1}{} kommt links nur der Summand zu
\mathl{k=1}{} vor, und dieser ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-1)^0 1^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Rechts steht ebenfalls
\mathdisp {(-1)^2 { \frac{ 1 \cdot 2 }{ 2 } } =1} { . }

Induktionsschluss. Die Aussage sei für $n$ bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für
\mathl{n+1}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{k = 1}^{n+1} (-1)^{k-1} k^2 }
{ =} { \sum_{k = 1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 + (-1)^n (n+1)^2 }
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ n(n+1) }{ 2 } } + (-1)^{n+2} (n+1)(n+1) }
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ -n(n+1) }{ 2 } } + { \frac{ (-1)^{n+2} 2 (n+1)(n+1) }{ 2 } } }
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ -n(n+1)+ 2(n+1)(n+1) }{ 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ (n+1) (-n+2n+2) }{ 2 } } }
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ (n+1) (n+2) }{ 2 } } }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Also gilt die Aussage für alle $n$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?

}
{

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^4 }
{ =} {16 }
{ =} { 4^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die beiden Paare \mathkor {} {(2,4)} {und} {(4,2)} {} unter $\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei $M$ eine $k$-elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf $M$?

}
{

Bei einer Verknüpfung wird jedem Paar
\mathl{(x,y) \in M\times M}{} ein Element aus $M$ zugeordnet. Dabei hat man für jedes der $k^2$ Paare $k$ Möglichkeiten. Damit gibt es insgesamt
\mathl{k^{(k^2)}}{} Verknüpfungen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.

}
{

Die beiden Zahlen seien
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n= b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{k}10^{k}} { , }
wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $k$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 + b_0 }
{ < }{10 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist oder nicht. Sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal $k+1$ Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal $k+2$-stellige Zahlen gegeben. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ m+n }
{ =} { \sum_{ i = 0}^{k+1} a_i 10^{i} + \sum_{ i = 0}^{k+1} b_i 10^{i} }
{ =} { a_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} a_i 10^{i} + b_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} b_i 10^{i} }
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} \right) } 10^{k+1} + \underbrace{ \sum_{ i = 0}^{k} a_i 10^{i} }_{ = m'} + \underbrace{ \sum_{ i = 0}^{k} b_i 10^{i} }_{ = n'} }
{ } { }
} {}{}{.} Es seien $c_i,d_i$ die durch den für \mathkor {} {m} {und} {n} {} in Fakt ***** beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für \mathkor {} {m'} {und} {n'} {} stimmen damit bis auf eventuell
\mathl{c_{k+1}, c_{k+2}, d_{k+2}}{} überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich $a_k$ und $b_k$ abhängen. Für
\mathl{m' + n'}{} bezeichnen wir mit
\mathl{c_{k+1}'}{} die entsprechende Ziffer, und zwar ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_{k+1}' }
{ = }{ d_{k+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich
\mathdisp {\sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i} +c_{k+1}' 10^{k+1}} { . }
Die Gesamtsumme ist somit gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m+n }
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} \right) } 10^{k+1} +c_{k+1}' 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i} }
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} +c_{k+1}' \right) } 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i} }
{ =} { { \left( a_{k+1} + b_{k+1} + d_{k+1} \right) } 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i} }
{ =} { c_{k+2} 10^{k+2}+ c_{k+1} 10^{k+1} + \sum_{ i = 0}^{k} c_i 10^{i} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 0}^{k+2} c_i 10^{i} }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es seien
\mathl{a,b,c}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a-b }
{ \geq }{ c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{ b+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a-b)-c }
{ =} {a-(b+c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Die Abschätzung ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+c }
{ \leq} { b + (a-b) }
{ =} { a }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ((a-b)-c )+ (b+c) }
{ =} {(( (a-b)-c )+ c )+ b }
{ =} { (a-b) +b }
{ =} { a }
{ } { }
} {} {}{.} Somit erfüllt $(a-b) -c$ die für
\mathl{a-(b+c)}{} charakteristische Eigenschaft und muss damit übereinstimmen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $7$ und der andere ein Fassungsvermögen von $10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

}
{

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.
\mathdisp {(0,0),\, (7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0)} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.

}
{

Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über $n$ gezeigt. Für
\mathl{n=2}{} liegt eine Primzahl vor. Sei nun
\mathl{n \geq 3}{} und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {p_1 { \cdots } p_r }
{ =} {q_1 { \cdots } q_s }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen. Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl $p_1$ das Produkt rechts teilt. Nach dem Lemma von Euklid muss dann $p_1$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass $q_1$ von $p_1$ geteilt wird. Da $q_1$ selbst eine Primzahl ist, folgt, dass
\mathl{p_1=q_1}{} sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_2 { \cdots } p_r }
{ =} {q_2 { \cdots } q_s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Nennen wir diese Zahl $n'$. Da
\mathl{n'<n}{} ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf $n'$ anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1085 }
{ =} { 1 \cdot 806 + 279 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806 }
{ =} { 2 \cdot 279 + 248 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{279 }
{ =} { 1 \cdot 248 +31 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{248 }
{ =} { 8 \cdot 31 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der größte gemeinsame Teiler ist also $31$. Aus den Rechnungen erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806 }
{ =} { 2 \cdot 279 + 248 }
{ =} { 2 ( 248 +31) +248 }
{ =} { 3 \cdot 248 + 2 \cdot 31 }
{ =} { 3 \cdot 8 \cdot 31 + 2 \cdot 31 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { 26 \cdot 31 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1085 }
{ =} { 806 +279 }
{ =} { 26 \cdot 31 + 9 \cdot 31 }
{ =} { 35 \cdot 31 }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+1+2+2+2)}
{

Zwei Schwimmer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3 m/s$ \zusatzklammer {das ist besser als der Weltrekord} {} {} und Schwimmer $B$ schwimmt $2 m/s$. \aufzaehlungfuenf{Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen \mathkor {} {0} {und} {100} {} Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt \zusatzklammer {wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden} {} {} entfernt ist. }{Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ \zusatzklammer {und Schwimmer $B$} {} {} nach $30$ Sekunden? }{Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal \zusatzklammer {abgesehen vom Start} {} {?} }{Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer \zusatzklammer {Start mitzählen} {} {?} }{Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$? }

}
{

\aufzaehlungfuenf{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Graphzweischwimmer.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Graphzweischwimmer.png } {Mgausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

$\,$





}{Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $A$ $90$ Meter zurückgelegt, er ist also $50$ Meter hin und $40$ Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich $10$ Meter vom Start entfernt. Nach $30$ Sekunden hat Schwimmer $B$ $60$ Meter zurückgelegt, er befindet sich also $40$ Meter vom Start entfernt. }{Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer $A$ das erste Mal zurückschwimmt und $B$ noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 t }
{ =} { 50 -3 (t- 16 { \frac{ 2 }{ 3 } } ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5t }
{ =} {100 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t }
{ =} {20 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Nach $100$ Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt \zusatzklammer {siehe die Skizze} {} {,} $A$ hat dabei $300$ Meter zurückgelegt, $B$ nur $200$ Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal \zusatzklammer {den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht} {} {,} dies wiederholt sich dreimal und dann muss $A$ noch $100$ Meter schwimmen, wobei er $B$ noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf $17$ Begegnungen. }{Schwimmer $A$ überrundet Schwimmer $B$ dreimal, nämlich am Startpunkt nach $100 s$, nach $200 s$ und nach $300 s$. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es soll Holz unterschiedlicher Länge \zusatzklammer {ohne Abfall} {} {} in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen \zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.} Für welche Holzlängen ist dies möglich?

}
{

Es sei $\ell$ die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für
\mathl{\ell < 30}{} ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{30 }
{ \leq }{ \ell }
{ \leq }{40 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{40 }
{ < }{ \ell }
{ < }{60 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{60 }
{ \leq }{ \ell }
{ \leq }{80 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man das Stück in zwei \zusatzklammer {beispielsweise gleichgroße} {} {} Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{80 }
{ < }{ \ell }
{ < }{90 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\ell }
{ \geq} {90 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 s }
{ \leq} { \ell }
{ <} { 30 (s+1) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn man $\ell$ durch $s$ dividiert, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30 }
{ \leq} { { \frac{ \ell }{ s } } }
{ <} { { \frac{ 30 (s+1) }{ s } } }
{ =} { 30 { \frac{ (s+1) }{ s } } }
{ \leq} { 30 { \frac{ 4 }{ 3 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ \leq} {40 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,} was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Vergleiche die beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {{ \frac{ n }{ n+1 } }} {und} {{ \frac{ n-1 }{ n } }} {.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n }{ n+1 } } }
{ \geq} { { \frac{ n-1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da nach dem Überkreuzprinzip und der dritten binomischen Formel gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n^2 }
{ >} {n^2-1 }
{ =} {(n-1)(n+1) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{11 (5+4+2)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{a,b \neq 0}{} Elemente aus $K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten
\mathl{m,n \in \Z}{.} Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus $\N$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von
\mathl{u^k}{} gleich
\mathl{{ \left( u^{-1} \right) }^k}{} ist, verwenden. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{m+n} }
{ =} { a^m \cdot a^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a^{m})^n }
{ =} { a^{m n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a\cdot b)^n }
{ =} { a^n \cdot b^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{

Für einen negativen Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ = }{-k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist nach Definition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^m }
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{a^{-1}}{} das inverse Element zu $a$ bezeichnet. \aufzaehlungdrei{Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ = }{-k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{- \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^m \cdot a^n }
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^k { \left( a^{-1} \right) }^\ell }
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^{k + \ell} }
{ =} { a^{ - (k+\ell) } }
{ =} { a^{m+n} }
} {}{}{,} wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation $m \in \N$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{- \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als negativ annehmen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^m \cdot a^n }
{ =} {a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \geq }{ \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} { \ell+ r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das Produkt ist gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell }
{ =} {a^{ \ell + r} \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell }
{ =} {a^r a^{\ell} \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell }
{ =} { a^r { \left( a \cdot a^{-1} \right) }^\ell }
{ =} { a^r \cdot 1 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {a^r }
{ =} {a^{m-\ell} }
{ =} {a^{m+n} }
{ } {}
} {}{,} wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ < }{ \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell }
{ =} { m + s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das Produkt ist gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^\ell }
{ =} {a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^{m+s} }
{ =} {a^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^s }
{ =} { { \left( a \cdot a^{-1} \right) }^m \cdot { \left( a^{-1} \right) }^s }
{ =} { 1 \cdot { \left( a^{-1} \right) }^s }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a^{ -s } }
{ =} {a^{m-\ell} }
{ =} {a^{m+n} }
{ } {}
} {}{.} }{Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( a^m \right) }^n }
{ =} { { \left( { \left( a^m \right) }^{-1} \right) }^\ell }
{ =} { { \left( { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{k} \right) }^{-1} \right) }^\ell }
{ =} { { \left( { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{k} \right) }^\ell }
{ =} { { \left(a^{k} \right) }^\ell }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a^{ k \ell} }
{ =} {a^{ (-m)(-n) } }
{ =} { a^{mn} }
{ } {}
} {}{,} wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von
\mathl{u^k}{} gleich
\mathl{{ \left( u^{-1} \right) }^k}{} ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.

Wenn $m$ nichtnegativ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{- \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} negativ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^m \right) }^n }
{ =} { { \left( { \left( a^m \right) }^{-1} \right) }^\ell }
{ =} { { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{m} \right) }^\ell }
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^{m \ell } }
{ =} { a^{ - m \ell } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { a^{ m n } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ = }{- k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} negativ und $n$ nichtnegativ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^m \right) }^n }
{ =} { { \left( { \left( a^{-1} \right) }^{k} \right) }^n }
{ =} { { \left( a^{-1} \right) }^{k n } }
{ =} { a^{ - k n } }
{ =} { a^{ m n } }
} {}{}{.} }{Wir müssen nur den Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{- \ell }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} negativ behandeln. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (ab)^n }
{ =} { (ab)^{-\ell} }
{ =} { { \left( (ab)^{-1} \right) }^\ell }
{ =} { { \left( a^{-1} b^{-1} \right) }^\ell }
{ =} {{ \left( a^{-1} \right) }^\ell \cdot { \left( b^{-1} \right) }^\ell }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { a^{- \ell} b^{- \ell} }
{ =} {a^n b^n }
{ } {}
{ } {}
}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

}
{

Es benötigt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{65 000 000 \cdot 11 }
{ =} { 715 000000 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Minuten. Ein Jahr besteht aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{365 \cdot 24 \cdot 60 }
{ =} { 525600 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 715 000 000 }{ 525600 } } }
{ =} { { \frac{ 7 150 000 }{ 5256 } } }
{ \cong} { 1360,35 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Jahre.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Lucy Sonnenschein hat im Juni $80$ Euro ausgegeben, davon $20\,\%$ für Eis, im Juli hat sie $90$ Euro ausgegeben, davon $30\,\%$ für Eis, und im August hat sie $70$ Euro ausgegeben, und zwar hat sie davon $15$ Euro für Eis ausgegeben. Wie viel Prozent ihrer Ausgaben in den drei Sommermonaten gab sie für Eis aus?

}
{

Im Juni hat sie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0{,}2 \cdot 80 }
{ =} { 16 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Euro für Eis ausgegeben und im Juli
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0{,}3 \cdot 90 }
{ =} { 27 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für Eis. Insgesamt hat sie also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{16 + 27 +15 }
{ =} { 58 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Euro für Eis ausgegeben. Ihre Gesamtausgaben waren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{80+90 + 70 }
{ =} { 240 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Euro. Somit war der Eisanteil gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 58 }{ 240 } } }
{ =} { 0{,}241 \overline{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Sie hat also in den Sommermonaten ca. $24{,}17\,\%$ ihrer Ausgaben in Eis investiert.

}