Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	4	1	2	7	3	2	4	3	9	3	2	11	2	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
3. Die Menge der ganzen Zahlen.
4. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$.
5. Ein Körper.
6. Ein Prozent.

Lösung

1. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird.
2. Man sagt, dass eine natürliche Zahl ${}n$ größergleich einer natürlichen Zahl ${}k$ ist, geschrieben

   ${}n\geq k\,,$

   wenn man von ${}k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu ${}n$ gelangt.

3. Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$, der ${}0$ und der Menge ${}{\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
4. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

   ${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

   rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

5. Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

   und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
      3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
6. Ein Prozent ist ${}{\frac {1}{100}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
2. Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
3. Der Satz über die Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche.

Lösung

1. Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge ${}M\times N$ genau ${}m\cdot n$ Elemente.
2. Auf einer endlichen Menge ${}M$ mit ${}n$ Elementen gibt es ${}n!$ bijektive Abbildungen von ${}M$ nach ${}M$.
3. Zu jeder rationalen Zahl ${}q$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}a\in \mathbb {Z}$ derart, dass

   ${}{\frac {a}{10^{k}}}\leq q<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,$

   gilt.

Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Lösung

Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.

Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w f w f w f w f f f w

Lösung

${}\neg q$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Lösung

Induktionsanfang. Für ${}n=1$ kommt links nur der Summand zu ${}k=2$ vor, und dieser ist

${}(-1)^{0}1^{2}=1\,.$

Rechts steht ebenfalls

${}(-1)^{2}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1\,.$

Induktionsschluss. Die Aussage sei für ${}n$ bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für ${}n+1$. Es ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}k^{2}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}+(-1)^{n}(n+1)^{2}\\&=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}+(-1)^{n+2}(n+1)(n+1)\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)}{2}}+{\frac {(-1)^{n+2}2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)+2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(-n+2n+2)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.\end{aligned}}$

Also gilt die Aussage für alle ${}n$.

Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

${}2^{4}=16=4^{2}\,$

die beiden Paare ${}(2,4)$ und ${}(4,2)$ unter ${}\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}k$-elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf ${}M$?

Lösung

Bei einer Verknüpfung wird jedem Paar ${}(x,y)\in M\times M$ ein Element aus ${}M$ zugeordnet. Dabei hat man für jedes der ${}k^{2}$ Paare ${}k$ Möglichkeiten. Damit gibt es insgesamt ${}k^{(k^{2})}$ Verknüpfungen.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.

Lösung

Die beiden Zahlen seien

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},$

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$. Bei ${}k=0$ handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob ${}a_{0}+b_{0}<10$ ist oder nicht. Es sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal ${}k+1$ Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal ${}k+2$-stellige Zahlen gegeben. Es ist

${}{\begin{aligned}m+n&=\sum _{i=0}^{k+1}a_{i}10^{i}+\sum _{i=0}^{k+1}b_{i}10^{i}\\&=a_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}+b_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}} _{=m'}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}} _{=n'}.\end{aligned}}$

Es seien ${}c_{i},d_{i}$ die durch den für ${}m$ und ${}n$ in Verfahren 15.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für ${}m'$ und ${}n'$ stimmen damit bis auf eventuell ${}c_{k+1},c_{k+2},d_{k+2}$ überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich ${}a_{k}$ und ${}b_{k}$ abhängen. Für ${}m'+n'$ bezeichnen wir mit ${}c_{k+1}'$ die entsprechende Ziffer, und zwar ist ${}c_{k+1}'=d_{k+1}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich

$\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}+c_{k+1}'10^{k+1}.$

Die Gesamtsumme ist somit gleich

${}{\begin{aligned}m+n&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+c_{k+1}'10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+c_{k+1}'\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+d_{k+1}\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=c_{k+2}10^{k+2}+c_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=0}^{k+2}c_{i}10^{i}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}a-b\geq c$. Zeige, dass dann ${}a\geq b+c$ ist und dass

${}(a-b)-c=a-(b+c)\,$

ist.

Lösung

Die Abschätzung ergibt sich aus

${}b+c\leq b+(a-b)=a\,.$

Es ist

${}{\begin{aligned}((a-b)-c)+(b+c)&=(((a-b)-c)+c)+b\\&=(a-b)+b\\&=a.\end{aligned}}$

Somit erfüllt ${}(a-b)-c$ die für ${}a-(b+c)$ charakteristische Eigenschaft und muss damit übereinstimmen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.

$(0,0),\,(7,0),\,(0,7),\,(7,7),\,(4,10),\,(4,0),\,(0,4),\,(7,4),\,(1,10),\,(1,0).$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.

Lösung

Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über ${}n$ gezeigt.  Für ${}n=2$ liegt eine Primzahl vor und die Aussage ist klar. Es sei nun ${}n\geq 3$ und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir

${}n=p_{1}{\cdots }p_{r}=q_{1}{\cdots }q_{s}\,.$

Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen. Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl ${}p_{1}$ das Produkt rechts teilt. Nach dem Lemma von Euklid muss dann ${}p_{1}$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass ${}q_{1}$ von ${}p_{1}$ geteilt wird. Da ${}q_{1}$ selbst eine Primzahl ist, folgt, dass ${}p_{1}=q_{1}$ sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass

${}p_{2}{\cdots }p_{r}=q_{2}{\cdots }q_{s}\,$

ist. Nennen wir diese Zahl ${}n'$. Da ${}n'<n$ ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf ${}n'$ anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1085$ und ${}806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Lösung

Es ist

${}1085=1\cdot 806+279\,,$

${}806=2\cdot 279+248\,,$

${}279=1\cdot 248+31\,,$

${}248=8\cdot 31\,.$

Der größte gemeinsame Teiler ist also ${}31$. Aus den Rechnungen erhält man

${}806=2\cdot 279+248=2(248+31)+248=3\cdot 248+2\cdot 31=3\cdot 8\cdot 31+2\cdot 31=26\cdot 31\,$

und

${}1085=806+279=26\cdot 31+9\cdot 31=35\cdot 31\,.$

Aufgabe (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, ${}A$ und ${}B$, schwimmen auf einer ${}50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer ${}A$ schwimmt ${}3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer ${}B$ schwimmt ${}2m/s$.

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen ${}0$ und ${}100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer ${}A$ (und Schwimmer ${}B$) nach ${}30$ Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer ${}A$ den Schwimmer ${}B$?

Lösung

1. 

   ${}\,$

   
   

   
   

   
   

   
   

2. Nach ${}30$ Sekunden hat Schwimmer ${}A$ ${}90$ Meter zurückgelegt, er ist also ${}50$ Meter hin und ${}40$ Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich ${}10$ Meter vom Start entfernt. Nach ${}30$ Sekunden hat Schwimmer ${}B$ ${}60$ Meter zurückgelegt, er befindet sich also ${}40$ Meter vom Start entfernt.
3. Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer ${}A$ das erste Mal zurückschwimmt und ${}B$ noch hinschwimmt. Wir machen den Ansatz

   ${}2t=50-3(t-16{\frac {2}{3}})\,.$

   Dies führt auf

   ${}5t=100\,,$

   also

   ${}t=20\,.$

4. Nach ${}100$ Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt (siehe die Skizze), ${}A$ hat dabei ${}300$ Meter zurückgelegt, ${}B$ nur ${}200$ Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal (den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht), dies wiederholt sich dreimal und dann muss ${}A$ noch ${}100$ Meter schwimmen, wobei er ${}B$ noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf ${}17$ Begegnungen.
5. Schwimmer ${}A$ überrundet Schwimmer ${}B$ dreimal, nämlich am Startpunkt nach ${}100s$, nach ${}200s$ und nach ${}300s$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen ${}30$ und ${}40$ cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?

Lösung

Es sei ${}\ell$ die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für ${}\ell <30$ ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für ${}30\leq \ell \leq 40$ kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für ${}40<\ell <60$ ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für ${}60\leq \ell \leq 80$ kann man das Stück in zwei (beispielsweise gleichgroße) Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für ${}80<\ell <90$ ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab

${}\ell \geq 90\,$

ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich

${}30s\leq \ell <30(s+1)\,$

mit einer natürlichen Zahl ${}s\geq 3$. Wenn man ${}\ell$ durch ${}s$ dividiert, erhält man

${}30\leq {\frac {\ell }{s}}<{\frac {30(s+1)}{s}}=30{\frac {(s+1)}{s}}\leq 30{\frac {4}{3}}\leq 40\,,$

was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Vergleiche die beiden rationalen Zahlen ${}{\frac {n}{n+1}}$ und ${}{\frac {n-1}{n}}$.

Lösung

Es ist

${}{\frac {n}{n+1}}\geq {\frac {n-1}{n}}\,,$

da nach dem Überkreuzprinzip und der dritten binomischen Formel gilt

${}n^{2}>n^{2}-1=(n-1)(n+1)\,.$

Aufgabe (11 (5+4+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten ${}m,n\in \mathbb {Z}$. Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus ${}\mathbb {N}$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von ${}u^{k}$ gleich ${}{\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist, verwenden.

1. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

2. ${}{\left(a^{m}\right)}^{n}=a^{mn}\,.$

3. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Lösung

Für einen negativen Exponenten ${}m=-k$ ist nach Definition

${}a^{m}={\left(a^{-1}\right)}^{k}\,,$

wobei ${}a^{-1}$ das inverse Element zu ${}a$ bezeichnet.

1. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir ${}m=-k$ und ${}n=-\ell$ und es ist

   ${}a^{m}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}\right)}^{k}{\left(a^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{k+\ell }=a^{-(k+\ell )}=a^{m+n}\,,$

   wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation ${}m\in \mathbb {N}$ und ${}n=-\ell$ als negativ annehmen. Dann ist

   ${}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }\,.$

   Bei ${}m\geq \ell$ schreiben wir

   ${}m=\ell +r\,$

   und das Produkt ist gleich

   ${}a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{\ell +r}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}a^{\ell }\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}{\left(a\cdot a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}\cdot 1=a^{r}=a^{m-\ell }=a^{m+n}\,,$

   wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.

   Bei ${}m<\ell$ schreiben wir

   ${}\ell =m+s\,$

   und das Produkt ist gleich

   ${}a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{m+s}=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}={\left(a\cdot a^{-1}\right)}^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}=1\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}=a^{-s}=a^{m-\ell }=a^{m+n}\,.$

2. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Es seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist

   ${}{\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{m}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left({\left(a^{-1}\right)}^{k}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left({\left(a^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{k}\right)}^{\ell }={\left(a^{k}\right)}^{\ell }=a^{k\ell }=a^{(-m)(-n)}=a^{mn}\,,$

   wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von ${}u^{k}$ gleich ${}{\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.

   Wenn ${}m$ nichtnegativ und ${}n=-\ell$ negativ ist, so ist

   ${}{\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{m}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left(a^{-1}\right)}^{m}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{m\ell }=a^{-m\ell }=a^{mn}\,.$

   Wenn ${}m=-k$ negativ und ${}n$ nichtnegativ ist, so ist

   ${}{\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{-1}\right)}^{k}\right)}^{n}={\left(a^{-1}\right)}^{kn}=a^{-kn}=a^{mn}\,.$

3. Wir müssen nur den Fall ${}n=-\ell$ negativ behandeln. Dann ist

   ${}(ab)^{n}=(ab)^{-\ell }={\left((ab)^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}b^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{\ell }\cdot {\left(b^{-1}\right)}^{\ell }=a^{-\ell }b^{-\ell }=a^{n}b^{n}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Lösung

Es benötigt

${}65000000\cdot 11=715000000\,$

Minuten. Ein Jahr besteht aus

${}365\cdot 24\cdot 60=525600\,$

Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit

${}{\frac {715000000}{525600}}={\frac {7150000}{5256}}\cong 1360,35\,$

Jahre.

Aufgabe (3 Punkte)

Lucy Sonnenschein hat im Juni ${}80$ Euro ausgegeben, davon ${}20\,\%$ für Eis, im Juli hat sie ${}90$ Euro ausgegeben, davon ${}30\,\%$ für Eis, und im August hat sie ${}70$ Euro ausgegeben, und zwar hat sie davon ${}15$ Euro für Eis ausgegeben. Wie viel Prozent ihrer Ausgaben in den drei Sommermonaten gab sie für Eis aus?

Lösung

Im Juni hat sie

${}0{,}2\cdot 80=16\,$

Euro für Eis ausgegeben und im Juli

${}0{,}3\cdot 90=27\,$

für Eis. Insgesamt hat sie also

${}16+27+15=58\,$

Euro für Eis ausgegeben. Ihre Gesamtausgaben waren

${}80+90+70=240\,$

Euro. Somit war der Eisanteil gleich

${}{\frac {58}{240}}=0{,}241{\overline {6}}\,$

Sie hat also in den Sommermonaten ca. ${}24{,}17\,\%$ ihrer Ausgaben in Eis investiert.