Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 1 4 1 2 7 3 2 4 3 9 3 2 11 2 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen.
  3. Die Menge der ganzen Zahlen.
  4. Die Folge der euklidischen Reste zu ganzen Zahlen mit .
  5. Ein Körper.
  6. Ein Prozent.


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Man sagt, dass eine natürliche Zahl größergleich einer natürlichen Zahl ist, geschrieben

    wenn man von aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu gelangt.

  3. Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen , der und der Menge , die die negativen ganzen Zahlen heißen.
  4. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen und und die mittels der Division mit Rest

    rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.

  5. Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .
  6. Ein Prozent ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
  2. Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
  3. Der Satz über die Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche.


Lösung

  1. Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen. Dann besitzt die Produktmenge genau Elemente.
  2. Auf einer endlichen Menge mit Elementen gibt es bijektive Abbildungen von nach .
  3. Zu jeder rationalen Zahl und jedem gibt es ein derart, dass
    gilt.


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f w
f w f
f f w


Lösung

.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Lösung

Induktionsanfang. Für kommt links nur der Summand zu vor, und dieser ist

Rechts steht ebenfalls

Induktionsschluss. Die Aussage sei für bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für . Es ist

Also gilt die Aussage für alle .


Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

die beiden Paare und unter auf das gleiche Element abgebildet werden.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Wie viele Verknüpfungen gibt es auf ?


Lösung

Bei einer Verknüpfung wird jedem Paar ein Element aus zugeordnet. Dabei hat man für jedes der Paare Möglichkeiten. Damit gibt es insgesamt Verknüpfungen.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.


Lösung

Die beiden Zahlen seien

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen ein schrittweises Invarianzprinzip des schriftlichen Addierens, nämlich, dass nach dem -ten Schritt (), wenn die hinteren Ziffern und die Übertragsziffern schon berechnet sind, dass dann die jeweilige Summe

konstant ist (also nicht von abhängt), und zwar gleich . Diese Summen beschreiben eine Momentaufnahme des Algorithmus zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei bedeutet der Schritt , dass noch keine Rechnung durchgeführt wurde. Am Anfang, bei , sind die beiden hinteren Summanden nicht vorhanden und vorne stehen und komplett, die Summe ist also . Die Konstanz der Summen beweisen wir durch Induktion nach , wobei wir den Fall

soeben behandelt haben. Sei nun die Konstanz

bereits bewiesen, und wir verarbeiten die -Stelle. Gemäß dem Algorithmus addiert man

und schreibt dies als

mit Somit ist

Wenn man in der Summe die linke Seite der vorstehenden Gleichung durch die rechte Seite ersetzt, so erhält man gerade , was die Gleichheit zeigt. Wenn man hinreichend groß nimmt, hat man und verbraucht und die Summe besteht dann allein aus der durch die Ziffern gebildeten Zahl. Dies stimmt also mit der Summe überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit und . Zeige, dass dann ist und dass

ist.


Lösung

Die Abschätzung ergibt sich aus

Es ist

Somit erfüllt die für charakteristische Eigenschaft und muss damit übereinstimmen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.


Lösung

Die Eindeutigkeit wird durch Induktion über gezeigt. Für liegt eine Primzahl vor. Sei nun und seien zwei Zerlegungen in Primfaktoren gegeben, sagen wir

Wir müssen zeigen, dass nach Umordnung die Primfaktorzerlegungen übereinstimmen. Die Gleichheit bedeutet insbesondere, dass die Primzahl das Produkt rechts teilt. Nach dem Lemma von Euklid muss dann einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung können wir annehmen, dass von geteilt wird. Da selbst eine Primzahl ist, folgt, dass sein muss. Daraus ergibt sich durch Kürzen, dass

ist. Nennen wir diese Zahl . Da ist, können wir die Induktionsvoraussetzung auf anwenden und erhalten, dass links und rechts die gleichen Primzahlen stehen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.


Lösung

Es ist

Der größte gemeinsame Teiler ist also . Aus den Rechnungen erhält man

und


Aufgabe (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schmimmer, und , schwimmen auf einer -Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt .

  1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen und Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
  2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer ) nach Sekunden?
  3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal?
  4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
  5. Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer ?


Lösung

  1. Graphzweischwimmer.png

  2. Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er ist also Meter hin und Meter zurückgeschwommen. Somit befindet er sich Meter vom Start entfernt. Nach Sekunden hat Schwimmer Meter zurückgelegt, er befindet sich also Meter vom Start entfernt.
  3. Die erste Begegnung findet statt, wenn Schwimmer das erste Mal zurückschwimmt und noch hinschwimmt. Der Ansatz

    Dies führt auf

    also

  4. Nach Sekunden sind beide Schwimmer wieder am Startpunkt (siehe die Skizze), hat dabei Meter zurückgelegt, nur Meter. In diesem Zeitraum begegnen sie sich fünfmal (den Start mitgezählt, die letzte Begegnung jedoch nicht), dies wiederholt sich dreimal und dann muss noch Meter schwimmen, wobei er noch einmal unterwegs begegnet. Dies führt auf Begegnungen.
  5. Schwimmer überrundet Schwimmer dreimal, nämlich am Startpunkt nach , nach und nach .


Aufgabe (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?


Lösung

Es sei die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für kann man das Stück in zwei (beispielsweise gleichgroße) Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab

ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich

mit einer natürlichen Zahl . Wenn man durch dividiert, erhält man

was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei . Vergleiche die beiden rationalen Zahlen und .


Lösung

Es ist

da nach dem Überkreuzprinzip und der dritten binomischen Formel gilt


Aufgabe (11 (5+4+2) Punkte)

Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten . Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von gleich ist, verwenden.


Lösung

Für einen negativen Exponenten ist nach Definition

wobei das inverse Element zu bezeichnet.

  1. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir und und es ist

    wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation und als negativ annehmen. Dann ist

    Bei schreiben wir

    und das Produkt ist gleich

    wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.

    Bei schreiben wir

    und das Produkt ist gleich

  2. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist

    wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von gleich ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.

    Wenn nichtnegativ und negativ ist, so ist

    Wenn negativ und nichtnegativ ist, so ist

  3. Wir müssen nur den Fall negativ behandeln. Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.


Lösung

Es benötigt

Minuten. Ein Jahr besteht aus

Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit

Jahre.


Aufgabe (3 Punkte)

Lucy Sonnenschein hat im Juni Euro ausgegeben, davon für Eis, im Juli hat sie Euro ausgegeben, davon für Eis, und im August hat sie Euro ausgegeben, und zwar hat sie davon Euro für Eis ausgegeben. Wie viel Prozent ihrer Ausgaben in den drei Sommermonaten gab sie für Eis aus?


Lösung

Im Juni hat sie

Euro für Eis ausgegeben und im Juli

für Eis. Insgesamt hat sie also

Euro für Eis ausgegeben. Ihre Gesamtausgaben waren

Euro. Somit war der Eisanteil gleich

Sie hat also in den Sommermonaten ca. ihrer Ausgaben in Eis investiert.