Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/7/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	3	2	2	4	4	4	1	2	5	3	2	8	3	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Erstelle eine Wertetabelle, die für die natürlichen Zahlen von ${}1$ bis ${}10$ ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.
Was ist der kleinste volle Geldbetrag, für den man mindestens vier Bargeldmittel einsetzen muss?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring ${}R$ durch Induktion über ${}k$ , wobei der Fall ${}k=2$ verwendet werden darf (dabei sind ${}n_{1},\ldots ,n_{k}$ natürliche Zahlen und ${}a_{j,i}\in R$ ).

{}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i_{1}=1}^{n_{1}}a_{1,i_{1}}\right)}\cdot {\left(\sum _{i_{2}=1}^{n_{2}}a_{2,i_{2}}\right)}\cdots {\left(\sum _{i_{k}=1}^{n_{k}}a_{k,i_{k}}\right)}&=\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})\in \{1,\ldots ,n_{1}\}\times \{1,\ldots ,n_{2}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,n_{k}\}}a_{1,i_{1}}\cdot a_{2,i_{2}}\cdots a_{k,i_{k}}\\\end{aligned}}

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die einzigen natürlichen Zahlen, die die Gleichung

{}a^{2}=a\,

erfüllen, die ${}0$ und die ${}1$ sind.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Rest von ${}123456789$ bei Division durch ${}8$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}x$ und ${}y$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt ${}xy$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine natürliche Zahl heißt palindromisch, wenn es egal ist, ob man ihre Dezimalentwicklung von vorne nach hinten oder von hinten nach vorne liest. Bestimme die kleinste Potenz

1001^{n},

die nicht palindromisch ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien drei verschiedene Zahlen ${}a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${}a\cdot b\cdot c$ minimal?

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Finde eine Darstellung der ${}1$ für das Zahlenpaar ${}11$ und ${}13$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${}100!$ .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}116901$ und ${}138689$ .

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Schwere ${}12$ bzw. ${}50$ Kilogramm.

Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau ${}23$ Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise, dass die rationalen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe in Worten, wie man den Term
$-{\frac {7}{5}}\cdot 2^{-3}$

ausrechnet.
Schreibe die Funktion
$\mathbb {Q} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -{\frac {7}{5}}x^{-3}$

als eine Hintereinanderschaltung von möglichst einfachen Abbildungen.