Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 1 7 6 5 8 1 3 2 1 5 2 3 3 2 4 1 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Eine Primzahl.
  3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  4. Der -Exponent von einer ganzen Zahl zu einer Primzahl .
  5. Eine wachsende Abbildung auf einem angeordneten Körper .
  6. Ein Promille.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.
  2. Der binomische Lehrsatz für einen kommutativen Halbring.
  3. Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne mit Hilfe einer binomischen Formel.


Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Die Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.

  1. Die -te Generation bestehe nur aus einem Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch aus diesem Geschlecht besteht.
  2. Die -te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
  3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
  4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?


Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

Zu sei

Zu jedem und jedem seien die Abbildungen

durch

und die Abbildungen

durch

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

b) Erstelle eine Wertetabelle für

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Addition und endliche Mengen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.


Aufgabe * (2 Punkte)

Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand (ohne den Daumennagel) lackieren, wobei die drei Farben zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die ein Maximum besitze. Zeige, dass auch ein Minimum besitzt.


Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Sei . Vergleiche die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge mit der Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge in den folgenden Fällen.

a) ,


b) ,


c) .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass für zwei von verschiedene ganze Zahlen auch das Produkt von verschieden ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für je zwei natürliche Zahlen aus

die Gleichheit folgt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Addition auf wohldefiniert ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ein Körper und , ein Element. Erläutere, warum es sinnvoll ist, für das inverse Element zu die Bezeichnung zu verwenden.


Aufgabe * (2 Punkte)

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von , das ein Dezimalbruch ist.